Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
João é vendedor de uma loja de sapatos. Para seu cliente José, ele ofereceu dois descontos sucessivos de [tex]20 \%[/tex] e [tex]30 \%[/tex] num mesmo par.
Qual seria o desconto percentual único que ele poderia ter dado e que substituiria os dois descontos?
Solução 1
Vamos considerar:
- [tex]P:[/tex] preço original;
- [tex]P_1:[/tex] preço após o primeiro desconto;
- [tex]P_2:[/tex] preço após o primeiro e o segundo desconto.
Seguimos a lógica da dica postada no Fórum, ou seja, pegar o preço original, aplicar o primeiro desconto nele e neste resultado aplicar o segundo desconto. Assim, a resposta seria a variação percentual entre o preço original ([tex]P[/tex]) e o preço após o primeiro e o segundo desconto ([tex]P_2[/tex]).
Analisando a dica, mais uma vez, observamos que, aplicando um desconto de [tex]x\%[/tex] num preço [tex]P[/tex], temos
[tex]\qquad P_1 = P − \dfrac{x}{100}\cdot P= \dfrac{100 – x}{100}\cdot P[/tex].
e utilizamos apenas o lado direito da igualdade: [tex] P_1 = \dfrac{100 – x}{100}\cdot P[/tex].
Assim, nós aplicamos o primeiro desconto para descobrir o [tex]P_1[/tex]:
[tex] \qquad P_1 = \dfrac{100 – 20}{100}\cdot P[/tex]
[tex]\qquad P_1 = \dfrac{80}{100}\cdot P[/tex]
[tex] \qquad P_1 = \dfrac {80P}{100}[/tex].
Portanto, após aplicar o primeiro desconto, ficamos com apenas [tex]80 \%[/tex] do preço original.
Mas ainda falta aplicar o segundo desconto, então:
[tex] \qquad P_2 = \dfrac{100 – 30}{100}\cdot\dfrac{80P}{100}[/tex]
[tex]\qquad P_2 = \dfrac{70}{100}\cdot\dfrac{80P}{100}[/tex]
[tex] \qquad P_2 = \dfrac{7\cancel{0}}{10\cancel{0}}\cdot\dfrac{8\cancel{0}P}{10\cancel{0}}[/tex]
[tex]\qquad P_2 = \dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{8P}{10}[/tex]
[tex]\qquad P_2 = \dfrac{56P}{100}[/tex]
[tex]\qquad P_2 = \dfrac{56}{100}\cdot P[/tex].
Ou seja, [tex]P_2[/tex] é igual a [tex]56 \%[/tex] do preço original [tex]P[/tex], logo o desconto percentual único que substituiria os dois descontos sucessivos de [tex]20 \%[/tex] e de [tex]30 \%[/tex] seria [tex]44 \%[/tex], pois é a variação percentual entre [tex]P[/tex] e [tex]P_2[/tex].
Solução elaborada pelo COM 1uik, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Solução 2
Seja [tex]x[/tex] o valor do par de sapatos.
- Após o primeiro desconto, o valor do par cai para [tex]0,8x[/tex].
- Já após o segundo desconto, o valor passa para [tex]0,7 \cdot 0,8x=0,56x[/tex].
Portanto, observamos que o preço do par caiu [tex]44 \%[/tex], ou seja, um único desconto de [tex]44\%[/tex] corresponderia aos dois descontos sucessivos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.