Problema
Em uma festa, todos os convidados se cumprimentam com um aperto de mãos. Se houve [tex]15[/tex] apertos de mãos, quantas pessoas estavam na festa?
Solução 1
(Indicada a partir do 7º ano do E. F.)
Vamos representar as pessoas que estavam na festa por letras maiúsculas: [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex], etc.; e cada aperto de mãos por [tex](A,B)[/tex], por exemplo.
Observe que:
- Com [tex]1[/tex] pessoa, não teremos apertos de mãos.
- Com [tex]2[/tex] pessoas, [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] por exemplo, teremos [tex]1[/tex] aperto de mãos: [tex](A,B).[/tex]
- Com [tex]3[/tex] pessoas, [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] por exemplo, teremos [tex]3[/tex] apertos de mãos: [tex](A,B), (A,C)[/tex] e [tex](B,C).[/tex]
- Com [tex]4[/tex] pessoas, [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] e [tex]D[/tex] por exemplo, teremos [tex]6[/tex] apertos de mãos: [tex](A,B)[/tex], [tex](A,C)[/tex], [tex](A,D)[/tex], [tex](B,C)[/tex], [tex](B,D)[/tex] e [tex](C,D).[/tex]
- Com [tex]5[/tex] pessoas, [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex], [tex]D[/tex] e [tex]E[/tex] por exemplo, teremos [tex]10[/tex] apertos de mãos: [tex](A,B)[/tex], [tex](A,C)[/tex], [tex](A,D)[/tex], [tex](A,E)[/tex], [tex](B,C)[/tex], [tex](B,D)[/tex], [tex](B,E)[/tex], [tex](C,D)[/tex], [tex](C,E)[/tex] e [tex](D,E).[/tex]
- Com [tex]6[/tex] pessoas, [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex], [tex]D[/tex], [tex]E[/tex] e [tex]F[/tex] por exemplo, teremos [tex]15[/tex] apertos de mãos: [tex](A,B)[/tex], [tex](A,C)[/tex], [tex](A,D)[/tex], [tex](A,E)[/tex], [tex](A,F)[/tex], [tex](B,C)[/tex], [tex](B,D)[/tex], [tex](B,E)[/tex], [tex](B,F)[/tex], [tex](C,D)[/tex], [tex](C,E)[/tex], [tex](C,F)[/tex], [tex](D,E)[/tex], [tex](D,F)[/tex] e [tex](E,F).[/tex]
Portanto, havia [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$6$}[/tex] pessoas na festa.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
(Indicada a partir do 9º ano do E. F.)
Seja [tex]n[/tex] o número de pessoas na festa. Para cada aperto de mãos são necessárias duas pessoas e, a princípio, poderíamos pensar que haveria
[tex]\dfrac{n}{^{escolha \, \, da \, \, primeira \, \, pessoa}}^{\times}\dfrac{n-1}{^{escolha \, \, da \, \, segunda \, \, pessoa}}=n(n-1)[/tex] apertos de mãos.
Contudo, atentem ao fato de que o aperto de mãos que uma pessoa [tex]A[/tex] dá em uma pessoa [tex]B[/tex] é o mesmo aperto de mãos que a pessoa [tex]B[/tex] dá na pessoa [tex]A[/tex]. Logo, contamos cada aperto duas vezes, sendo então [tex]\dfrac{n(n-1)}{2}[/tex] a quantidade correta de apertos de mãos.
Pelo enunciado, [tex]\dfrac{n(n-1)}{2}=15[/tex], ou seja, [tex]n(n-1)=30[/tex]. Esta equação pode ser resolvida de mais de uma forma.
► Se você já estudou resolução de equações do segundo grau, basta expandi-la para a forma [tex]n^2-n-30=0[/tex] e aplicar a Fórmula de Resolução para esse tipo de equação. Você encontrará as raízes [tex]6[/tex] e [tex]-5[/tex].
Como [tex]n[/tex] é uma quantidade positiva, temos [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=6$} \, .[/tex]
► Caso ainda não saiba resolver equações do segundo grau, pode proceder da seguinte forma:
Como [tex]n[/tex] e [tex]n-1[/tex] são números naturais, a igualdade [tex]n(n-1)=30[/tex] nos diz que [tex]n[/tex] e [tex]n-1[/tex] são divisores de [tex]30[/tex] que distam uma unidade e cujo produto é [tex]30[/tex]. A resposta é simples de sair por tentativas, mas vamos tentar obtê-la formalmente.
Examinando os divisores de [tex]30[/tex], obtemos:
[tex]\qquad \hspace{1.8cm}\underline{\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{1}} \\
\qquad \begin{array}{r|l}
30 & 2 & \fcolorbox{black}{#FFFFBF}{2}\\
15 & 3 & \fcolorbox{black}{#FFFFBF}{3} \, \fcolorbox{black}{#FFFFBF}{6}\\
5& 5 &\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{5} \, \fcolorbox{black}{#FFFFBF}{10} \, \fcolorbox{black}{#FFFFBF}{15} \, \fcolorbox{black}{#FFFFBF}{30}\\
1 & & \\ \end{array}[/tex]
Com esses divisores, formamos quatro pares com produto [tex]30[/tex]:
- [tex]1\times 30=30[/tex]
- [tex]2\times 15=30[/tex]
- [tex]3\times 10=30[/tex]
- [tex]5\times 6=30[/tex]
Destes, o único par no qual a diferença entre os fatores é de uma unidade é o último. Logo, [tex]n-1=5[/tex] e [tex]n=6[/tex].
Portanto, havia [tex]6[/tex] pessoas na festa.
Comentário final: Nesta solução, utilizamos implicitamente que [tex]n\ne 1[/tex]; pois, repare que se [tex]n=1[/tex] só teríamos uma pessoa na festa, o que não faria muito sentido. Portanto, [tex]n[/tex] deve ser um número natural maior do que [tex]1[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.