Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Calcule o valor da soma
- [tex]1+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{49}+\dfrac{1}{81}+\cdots[/tex],
sabendo que [tex]\, \boxed{1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{36}+\cdots=\dfrac{\pi^{2}}{6}}\,.[/tex]
Solução
Repare que:
[tex]\quad 1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{36}+\cdots=\\
\qquad =\left(1+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{49}+\dfrac{1}{81}+\cdots \right)+\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{64}+\cdots \right)[/tex]
Assim:
[tex]\quad \left(1+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{49}+\dfrac{1}{81}+\cdots\right)+\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{64}+\cdots\right)=\dfrac{\pi^{2}}{6}.[/tex]
Nessa última igualdade, podemos por em evidência [tex]\frac{1}{4}[/tex] na segunda parcela do lado esquerdo,
[tex]\quad \left(1+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{49}+\dfrac{1}{81}+\cdots \right)+\dfrac{1}{4}\left(1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}+\cdots \right)=\dfrac{\pi^{2}}{6}[/tex],
donde segue que:
[tex]\quad \left(1+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{49}+\dfrac{1}{81}+\cdots \right)+\dfrac{1}{4}\cdot \left(\dfrac{\pi^{2}}{6}\right)=\dfrac{\pi^{2}}{6}[/tex]
Assim, temos que:
[tex]\quad 1+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{49}+\dfrac{1}{81}+\cdots=\dfrac{\pi^{2}}{6}-\dfrac{1}{4}\cdot \left(\dfrac{\pi^{2}}{6}\right)\\
\quad 1+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{49}+\dfrac{1}{81}+\cdots=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{\pi^{2}}{6}\right)\\
\quad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{49}+\dfrac{1}{81}+\cdots=\dfrac{\pi^{2}}{8}$}\,.[/tex]
Tudo justificado?
Bem, nem tudo…. Veja as observações abaixo!
Quando lidamos com as chamadas séries numéricas infinitas, isto é, "somas de infinitos números", nem sempre podemos nos valer da intuição e de propriedades que utilizamos sem problemas em somas finitas; por exemplo, agrupar parcelas em uma soma.
A definição formal de uma soma infinita é feita por limites, assunto geralmente estudado apenas nos cursos de graduação (nada impede, porém, que você procure saber um pouco mais a respeito! O livro Análise Real, do saudoso professor Elon Lages Lima, pode trazer informações muito interessantes para alunos no final do Ensino Médio, assim como para professores!).
Para você entender um pouco dos problemas que podem surgir, tente avaliar a seguinte soma infinita:
[tex]\qquad \qquad \boxed{S=1-1+1-1+\cdots+1-1+\cdots}[/tex].
Você poderia pensar assim:
- [tex]S=1-1+1-1+\cdots+1-1+\cdots\\
S =(1-1)+(1-1)+\cdots+(1-1)+\cdots\\
S=0+\cdots0+\cdots=0,[/tex]
ou assim:
- [tex]S=1-1+1-1+\cdots+1-1+\cdots\\
S=1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots+(-1+1)+\cdots\\
S=1+0+\cdots0+\cdots\\
\boxed{S=1},[/tex]
ou ainda:
- [tex]S=1-1+1-1+\cdots+1-1+\cdots\\
S =1-(1-1+1-\cdots-1+1-\cdots)\\
S=1-S\\
2\cdot S=1\\
\boxed{S=\dfrac{1}{2}}[/tex].
E aí, qual raciocínio está correto?
– Nenhum dos três!
A série [tex]\boxed{1-1+1-1+\cdots+1-1+\cdots} [/tex] é o que se chama de uma série não convergente, isto é, na teoria das séries numéricas não faz sentido atribuir um valor a esta soma.
Isto mostra que agrupar os termos de uma série infinita nem sempre produz resultados válidos.
Porém, existe um teorema que nos ajuda muito. Informalmente, ele diz que, se uma série for convergente (isto é, se existir um valor para a soma infinita) e se suas parcelas forem todas positivas, então podemos trocar parcelas de lugar, agrupá-las, etc. Isto é, este tipo de soma "funciona melhor", intuitivamente falando.
E isto justifica o procedimento da solução, já que:
1) Quando o enunciado diz que
[tex]\qquad 1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{36}+\cdots=\dfrac{\pi^{2}}{6}[/tex],
está afirmando que a série [tex]1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{36}+\cdots[/tex] é convergente, pois possui uma soma.
2) Como os termos da série são todos positivos, podemos agrupá-los da maneira que nos for conveniente, sem que isso cause problemas no resultado. Assim, particularmente vale escrever
[tex]\quad 1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{36}+\cdots=\\
\qquad =(1+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{49}+\dfrac{1}{81}+\cdots)+(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{64}+\cdots)\,.[/tex]
(Ufa, tudo bem com a nossa solução!)
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.