.Problemão: Tommy Roots

Solução 1

Considerando [tex]x,y\ge0[/tex] reais, ao elevar ambos os lados das equações ao quadrado, obtemos:
[tex]\qquad \large x+\sqrt{y}+2\bigg(\sqrt{x+\sqrt{y}}\bigg)\bigg(\sqrt{x-\sqrt{y}}\bigg)+x-\sqrt{y}=2^2 \large \implies 2x+2\sqrt{x^2-y}=4[/tex]
[tex]\qquad\large y+\sqrt{x}+2\bigg(\sqrt{y+\sqrt{x}}\bigg)\bigg(\sqrt{y-\sqrt{x}}\bigg)+y-\sqrt{x}=1^2 \large \implies 2y+2\sqrt{y^2-x}=1.[/tex]

Isolando ambas as raízes das equações e elevando novamente ao quadrado, temos:
[tex]\qquad\large 2\sqrt{x^2-y}=4-2x \implies 4x^2-4y=16-16x+4x^2 \implies 4x-y=4[/tex]
[tex]\qquad
\large 2\sqrt{y^2-x}=1-2y \implies 4y^2-4x=1-4y+4y^2 \implies 4y-4x=1.
[/tex]

Daí, temos um sistema de equações bastante simples, onde, após somar as equações, obtemos [tex]y=\dfrac {5}{3}[/tex], e daí [tex]x=\dfrac{17}{12}[/tex].

Por fim, basta fazermos:

[tex]\qquad 4x+2y=4\cdot\bigg(\dfrac{17}{12}\bigg)+2\cdot \bigg(\dfrac{5}{3}\bigg)=\dfrac{27}{3}=9.[/tex]

Solução elaborada pelo COM Phidias.

Solução 2

Primeiramente, vamos construir um sistema com as equações fornecidas:
[tex]\qquad\begin{cases}
\sqrt{x+\sqrt{y}}+\sqrt{x-\sqrt{y}}=2 \\
\sqrt{y+\sqrt{x}}+\sqrt{y-\sqrt{x}}=1.
\end{cases}[/tex]

Elevando ambas as equações ao quadrado, temos o seguinte:
[tex]\qquad\begin{cases}
(\sqrt{x+\sqrt{y}})^2+2(\sqrt{x+\sqrt{y}} \cdot \sqrt{x-\sqrt{y}})+(\sqrt{x-\sqrt{y}})^2=4 \\
(\sqrt{y+\sqrt{x}})^2+2(\sqrt{y+\sqrt{x}} \cdot \sqrt{y-\sqrt{x}})+(\sqrt{y-\sqrt{x}})^2=1.
\end{cases}[/tex]

Como [tex]\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}[/tex], e [tex](a+b) \cdot (a-b)=a^2-b^2[/tex], podemos substituir os termos seguintes:
[tex]\qquad\sqrt{x+\sqrt{y}} \cdot \sqrt{x-\sqrt{y}}=\sqrt{(x+\sqrt{y}) \cdot (x-\sqrt{y})}=\sqrt{x^2-y}\\
\qquad \sqrt{y+\sqrt{x}} \cdot \sqrt{y-\sqrt{x}}=\sqrt{(y+\sqrt{x}) \cdot (y-\sqrt{x})}=\sqrt{y^2-x}.[/tex]

Assim, ficamos com:
[tex]\qquad\begin{cases}
(\sqrt{x+\sqrt{y}})^2+2(\sqrt{x^2-y})+(\sqrt{x-\sqrt{y}})^2=4 \Rightarrow x+\sqrt{y}+2(\sqrt{x^2-y})+x-\sqrt{y}=4 \\
(\sqrt{y+\sqrt{x}})^2+2(\sqrt{y^2-x})+(\sqrt{y-\sqrt{x}})^2=1 \Rightarrow y+\sqrt{x}+2(\sqrt{y^2-x})+y-\sqrt{x}=1.
\end{cases}[/tex]

Donde obtemos:
[tex]\qquad\begin{cases}
2x+2(\sqrt{x^2-y})=4 \Rightarrow 2(x+\sqrt{x^2-y})=4 \Rightarrow x+\sqrt{x^2-y}=2 \Rightarrow \sqrt{x^2-y}=2-x\\
2y+2(\sqrt{y^2-x})=1 \Rightarrow 2(y+\sqrt{y^2-x})=1 \Rightarrow y+\sqrt{y^2-x}=\frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{y^2-x}=\frac{1}{2}-y.
\end{cases}[/tex]

Novamente, elevando ambos os termos ao quadrado, nas duas equações, ficamos com:
[tex]\qquad\begin{cases}
x^2-y=(2-x)^2 \Rightarrow x^2-y=4-4x+x^2 \Rightarrow -y=4-4x\\
y^2-x=\left(\frac{1}{2}-y\right)^2 \Rightarrow y^2-x=\frac{1}{4}-y+y^2 \Rightarrow -x=\frac{1}{4}-y.
\end{cases}[/tex]

Por fim, ficamos com o seguinte sistema:
[tex]\qquad\begin{cases}
y=4x-4 \\
x=y-\frac{1}{4}.
\end{cases}[/tex]

Agora, utilizando o método de substituição, vem:
[tex]\qquad x=(4x-4)-\frac{1}{4} \Rightarrow 3x=\frac{1}{4}+4 \Rightarrow 3x=\frac{1}{4}+\frac{16}{4} \Rightarrow 3x=\frac{17}{4} \therefore x=\frac{17}{12} \\
\qquad y=4 \cdot \frac{17}{12}-4 \Rightarrow y=\frac{17}{3}-\frac{12}{3} \therefore y=\frac{5}{3}.
[/tex]

Por fim, podemos apenas substituir seus valores, e obter o resultado de [tex]4x+2y[/tex]:
[tex]\qquad4x+2y=4 \cdot \frac{17}{12}+2 \cdot \frac{5}{3}=\frac{68}{12}+\frac{10}{3}=\frac{68}{12}+\frac{40}{12}=\frac{108}{12}=9.[/tex]

Assim, concluímos que o valor de [tex]4x+2y[/tex] é igual a [tex]9[/tex].

Solução elaborada pelo COM Potências de Euler.