.Problemão: Saindo pela diagonal

Problema

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Se $Q$ é um quadrado formado por $2012 \times 2012$ quadrados de aresta unitária, uma diagonal de $Q$ passa pelo interior de $2012$ quadrados unitários. Se $R$ é um retângulo formado por $2012 \times 2015$ quadrados de aresta unitária, por quantos quadrados passará uma diagonal de $R$?

Solução

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Se posicionarmos o retângulo nos eixos coordenados, este terá por vértices os pontos $(0,0), (2015, 0), (2015, 2012)$ e $(0, 2012)$. Uma diagonal do retângulo é dada por $y=\dfrac{2012}{2015}x$, com $0 \leq x \leq 2015$.
Observe que a diagonal entra em um novo quadrado cada vez que cruza uma linha vertical do tipo $x=a$, com $a=1, 2, 3, \ldots , 2014$ ou uma linha horizontal da forma $y=b$, com $b=1, 2, 3, \ldots , 2011$. Como $2012$ e $2015$ são primos entre si, a diagonal do retângulo nunca passará por um ponto com coordenadas inteiras.
Então, começando pelo quadrado unitário no vértice $(0,0)$, a diagonal cruzará $2014$ quadrados na horizontal e outros $2011$ quadrados na vertical, perfazendo um total de $1+2014+2011=4026$ quadrados unitários cruzados no interior do retângulo.
Que tal verificar que o mesmo ocorre com qualquer retângulo com lados $a$ e $b$, com $a$ e $b$ primos entre si ?

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .