Problema
(Indicado a partir do 3º ano do E. M.)
Encontre o resto da divisão de [tex]6^{2024}[/tex] por [tex]37[/tex].
Solução
Nesta solução, estaremos utilizando congruência modular. Caso não estejam familiarizados com o assunto, visitem esta página.
Note que
[tex]\qquad 36\equiv -1 \,(\text{mod}\,37)[/tex]
[tex]\qquad 6^2\equiv -1 \,(\text{mod}\,37)[/tex]
[tex]\qquad (6^2)^{1012}\equiv (-1)^{1012} \,(\text{mod}\,37)[/tex]
[tex]\qquad 6^{2024}\equiv 1 \,(\text{mod}\,37)[/tex]
[tex]\qquad 6^{2024}-1= 37q[/tex], para algum [tex]q\in \mathbb{N}[/tex]
[tex]\qquad 6^{2024}= 37q+1[/tex], para algum [tex]q\in \mathbb{N}.[/tex]
Logo, o resto da divisão de [tex]6^{2024}[/tex] por [tex]37[/tex] é [tex]1[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participaram da discussão os Clubes Phidias; Sociedade dos termos variados; Potências de Euler.