Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Determine o valor da expressão numérica
[tex]\qquad \qquad \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}\,.[/tex]
Solução
Observe que
[tex]\qquad 3^2=1+8=1+2\times 4[/tex];
[tex]\qquad 4^2=1+15=1+3\times 5[/tex];
[tex]\qquad 5^2=1+24=1+4\times 6[/tex];
[tex]\qquad 6^2=1+35=1+5\times 7[/tex].
Assim,
[tex]\qquad 3^2=1+2\times \sqrt{1+3\times 5}=1+2\times \sqrt{1+3\times \sqrt{1+4\times 6}}\\
\qquad 3^2=1+2\times \sqrt{1+3\times \sqrt{1+4\times \sqrt{1+\cdots}}}\;\;[/tex]
e, consequentemente,
[tex]\qquad 3=\sqrt{1+2\times \sqrt{1+3\times \sqrt{1+4\times \sqrt{1+\cdots}}}}\;\; .[/tex]
Dessa forma, o resultado final da expressão é [tex] \,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$3$}\,[/tex].
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