Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
O número [tex] \sqrt{3+2\sqrt{2}} – \sqrt{3-2\sqrt{2}}[/tex] é um número racional ou um número irracional?
Extraído de Colégio Naval.
Solução
Inicialmente, note que [tex] \sqrt{3+2\sqrt{2}}[/tex] é maior do que [tex] \sqrt{3-2\sqrt{2}}[/tex], ou seja, podemos afirmar que a expressão numérica representa um número positivo.
Representando por [tex]x[/tex] o valor dessa expressão, temos:
[tex]\qquad x= \sqrt{3+2\sqrt{2}} – \sqrt{3-2\sqrt{2}},[/tex]
[tex]\qquad x^{2} = (\sqrt{3+2\sqrt{2}} – \sqrt{3-2\sqrt{2}})^2[/tex].
Desenvolvendo o produto notável:
[tex]\qquad x^2 = (\sqrt{3+2\sqrt{2}})^2 – 2\cdot(\sqrt{3+2\sqrt{2}})\cdot (\sqrt{3-2\sqrt{2}})+ (\sqrt{3-2\sqrt{2}})^2,[/tex]
[tex]\qquad x^2 = 3+2\sqrt{2}- 2\cdot \sqrt{(3+2\sqrt{2})\cdot(3-2\sqrt{2})}+ 3-2\sqrt{2},[/tex]
[tex]\qquad x^2= 6-2\sqrt{9-8},[/tex]
[tex]\qquad x^2=6-2,[/tex]
[tex]\qquad x^2=4[/tex].
Como [tex]x[/tex] é um número positivo, [tex]x=2[/tex]. Portanto, [tex] \sqrt{3+2\sqrt{2}} – \sqrt{3-2\sqrt{2}}[/tex] é um número racional.
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