.Problemão: Progressão em crise

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

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Em uma certa progressão geométrica (PG) o primeiro, o décimo e o trigésimo termos são números inteiros positivos.
O vigésimo termo também é um número inteiro? Justifique sua resposta.

Solução

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Sejam $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ os termos da progressão geométrica em questão e seja $q$ a razão dessa PG.
Sabemos que $\, a_1 \,$, $\, a_{10}=a_1 q^9 \,$ e $\, a_{30}=a_1 q^{29} \,$ são inteiros positivos; desse modo, $q^9 \,$ e $\, q^{29} \,$ são números racionais positivos, pois são razões de números inteiros positivos: $q^9=\dfrac{a_{10}}{a_1} \,$ e $\, q^{29}=\dfrac{a_{30}}{a_1}$.
Sendo assim, $q^2=\dfrac{q^{29}}{(q^9)^3}$ é um número racional positivo e o mesmo ocorre com $q=\dfrac{q^9}{(q^2)^4}$.
Sendo um número racional positivo, podemos escrever $q$ na forma $q=\dfrac{m}{n}$, com $m$ e $n$ números inteiros positivos primos entre si.
Como $a_{30}$ é inteiro e $a_{30}=\dfrac{a_1 m^{29}}{n^{29}}$, então $a_1$ é divisível por $n^{29}$ e, consequentemente, também divisível por $n^{19}$, já que $n^{19}$ divide $n^{29}$.
Desse modo, $a_{20}=a_1 q^{19}=a_1 \dfrac{m^{19}}{n^{19}}=\dfrac{a_1}{n^{19}}m^{19}$ é um número positivo inteiro.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.