Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(TESTE BRASIL DE SELEÇÃO PARA CONE SUL 2007) Ache todos os pares [tex](a, b)[/tex] de números reais que satisfazem a igualdade
[tex]2(a^2+1)(b^2+1)=(a+1)(b+1)(ab+1).[/tex]
(Fonte: Livro Treinamento CONE SUL 2007)
Solução
Efetuando as multiplicações entre os elementos dos parênteses da equação [tex]2(a^2+1)(b^2+1)=(a+1)(b+1)(ab+1)[/tex], obtemos:
[tex]\qquad 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)=(ab+a+b+1)(ab+1).[/tex]
Podemos simplificar e organizar essa equação e reescrevê-la como
[tex]\qquad a^2(b^2-b+2)-a(b^2+2b+1)+(2b^2-b+1)=0 .\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Observe, com atenção, que podemos interpretar [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] como uma equação do segundo grau na incógnita [tex]a[/tex], para cada valor fixo de [tex]b[/tex]:
[tex]\qquad \underbrace {(b^2-b+2)}_{\text{constante}}a^2-\underbrace {(b^2+2b+1)}_{\text{constante}}a+\underbrace {(2b^2-b+1)}_{\text{constante}}=0\, [/tex],
assim, para que a equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] admita raízes reais, é necessário que seu discriminante [tex]\Delta[/tex] seja maior ou igual a zero. Vamos, então, calcular [tex]\Delta[/tex], analisar [tex]\Delta[/tex] e impor a condição de que [tex]\Delta \ge 0\, .[/tex] Vejamos.
[tex]\textcolor{#800000}{(1)}[/tex] Note que
[tex]\qquad \begin{align*}\Delta &= [(b^2+2b+1)]^2-4(b^2-b+2)(2b^2-b+1)\\
&=-7b^4+16b^3-18b^2+16b-7\\
&=-\left(7b^4-16b^3+18b^2-16b+7\right)\\
&=-\left[7b^4-\left(2b^3+14b^3\right)+\left(7b^2+4b^2+7b^2\right)-\left(14b+2b\right)+7\right]\\
&=-\left[\left(7b^4-2b^3+7b^2\right)-\left(14b^3-4b^2+14b\right)+\left(7b^2-2b+7\right)\right]\\
&=-\left[b^2\left(7b^2-2b+7\right)-2b\left(7b^2-2b+7\right)+1\left(7b^2-2b+7\right)\right]\\
&=-\left[\left(b^2-2b+1\right)\cdot \left(7b^2-2b+7\right)\right]\\
\end{align*}[/tex];
e, assim, [tex]\boxed{\Delta =-(b-1)^2(7b^2-2b+7)}[/tex], para cada [tex]b \in \mathbb{R}.[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{(2)}[/tex] Perceba, agora, que:
- [tex]\boxed{-(b-1)^2\le 0}[/tex], para todo [tex]b \in \mathbb{R}.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
- A equação do segundo grau, em [tex]b\, [/tex], [tex]\boxed{7b^2-2b+7=0} [/tex] não possui raízes reais, já que seu discriminante [tex]\Delta_b[/tex] é tal que
[tex]\qquad \Delta_b=(-2)^2-4\cdot 7\cdot 7=-192\lt 0\, .[/tex]
Assim, como [tex]7\gt 0[/tex], então [tex]\boxed{7b^2-2b+7\gt 0}\, [/tex], para todo [tex]b \in \mathbb{R}.\qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
Dessa forma, por [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], concluímos que
[tex]\qquad \Delta =-(b-1)^2(7b^2-2b+7) \le 0,\, \, \forall b \in \mathbb{R}.[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{(3)}[/tex] Como para todo número real [tex]b[/tex] temos [tex]\Delta \le 0\, [/tex], para que a equação dada no problema tenha soluções reais, precisamos, em particular, que [tex]a[/tex] seja real; portanto, devemos necessariamente ter [tex]\Delta=0[/tex].
E como [tex]7b^2-2b+7\gt 0\, [/tex], necessariamente temos [tex]-(b-1)^2=0[/tex], e, com isso:
- [tex]b=1[/tex]
- e [tex]a[/tex] é tal que
[tex]\qquad \qquad a^2(b^2-b+2)-a(b^2+2b+1)+(2b^2-b+1)=2a^2-4a+2=2(a-1)^2=0[/tex],
ou seja, [tex]a=1[/tex].
Finalizando, a única solução real da equação dada no problema é [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(a, b)=(1, 1)$}\, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.