Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)
A idade de cada um dos filhos do Sr. Triângulo é um número inteiro. A soma desses inteiros é [tex]12[/tex] e o produto é [tex]30[/tex].
Qual a idade de cada um dos filhos do Sr. Triângulo? Justifique sua resposta.
Solução
A idade de cada filho é um divisor de [tex]30[/tex]. Denotando qualquer um desses divisores por [tex]d[/tex], temos que
- [tex]d= 1,~ 2,~ 3, ~5,~ 6,~ 10, ~15~[/tex] ou [tex]~30[/tex].
Dentre esses divisores, devemos escolher três, não necessariamente diferentes, pois podemos ter irmãos gêmeos, de modo que o produto seja [tex]30[/tex] e a soma seja [tex]12[/tex].
Analisemos os possíveis valores de [tex]d[/tex], a partir da escolha dos maiores.
a) Se [tex]d=15[/tex] ou [tex]d=30[/tex], então a soma dos três divisores será no mínimo [tex]15[/tex] o que não satisfaz o problema.
b) Se [tex]d=10[/tex], então assumimos que os outros dois divisores serão [tex]1[/tex] e [tex]1[/tex], pois assim a soma será igual a [tex]12[/tex]. Mas, neste caso, [tex]10 \times 1 \times 1 \neq 30[/tex].
c) Se [tex] d=6[/tex], a soma dos outros dois divisores deve ser [tex]6[/tex], podendo então ser [tex]5[/tex] e [tex]1[/tex], ou [tex]3[/tex] e [tex]3[/tex]. O produto é igual a [tex]30[/tex] apenas escolhendo [tex]6[/tex], [tex]5[/tex] e [tex]1[/tex].
d) Se [tex] d=5[/tex], a soma dos divisores restantes é [tex]7[/tex], o que nos deixa como escolha apenas [tex]5[/tex] e [tex]2[/tex], cujo produto não é [tex]30[/tex].
e) Se [tex]d \leq 3[/tex], o produto dos três divisores será no máximo [tex]3 \times 3 \times 3 = 27 \neq 30[/tex].
Portanto, as idades dos filhos do Sr. T são 1, 5 e 6 anos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participaram da discussão deste problema os seguintes Clubes: JM -Jovens matemáticos; Os Pitagóricos.