.Problemão: Os filhos do Senhor T

Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)

A idade de cada um dos filhos do Sr. Triângulo é um número inteiro. A soma desses inteiros é $12$ e o produto é $30$ .
Qual a idade de cada um dos filhos do Sr. Triângulo? Justifique sua resposta.

Solução

A idade de cada filho é um divisor de

$30$ . Denotando qualquer um desses divisores por

$d$ , temos que

$d= 1,~ 2,~ 3, ~5,~ 6,~ 10, ~15~$ ou $~30$ .

Dentre esses divisores, devemos escolher três, não necessariamente diferentes, pois podemos ter irmãos gêmeos, de modo que o produto seja $30$ e a soma seja $12$ .
Analisemos os possíveis valores de $d$ , a partir da escolha dos maiores.
a) Se $d=15$ ou $d=30$ , então a soma dos três divisores será no mínimo $15$ o que não satisfaz o problema.

b) Se $d=10$ , então assumimos que os outros dois divisores serão $1$ e $1$ , pois assim a soma será igual a $12$ . Mas, neste caso, $10 \times 1 \times 1 \neq 30$ .

c) Se $d=6$ , a soma dos outros dois divisores deve ser $6$ , podendo então ser $5$ e $1$ , ou $3$ e $3$ . O produto é igual a $30$ apenas escolhendo $6$ , $5$ e $1$ .

d) Se $d=5$ , a soma dos divisores restantes é $7$ , o que nos deixa como escolha apenas $5$ e $2$ , cujo produto não é $30$ .

e) Se $d \leq 3$ , o produto dos três divisores será no máximo $3 \times 3 \times 3 = 27 \neq 30$ .

Portanto, as idades dos filhos do Sr. T são 1, 5 e 6 anos.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Participaram da discussão deste problema os seguintes Clubes: JM -Jovens matemáticos; Os Pitagóricos.