.Problemão: Medalhistas de Olimpíadas de Matemática

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

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Em uma escola existiram, em 2016, muitos medalhistas de Olimpíadas de Matemática. A tabela abaixo mostra o número de medalhistas com suas respectivas idades, sendo [tex]x[/tex] um número natural.

Número de Medalhistas	Idade
[tex]8[/tex]	[tex]11[/tex]
[tex]6[/tex]	[tex]12[/tex]
[tex]3[/tex]	[tex]13[/tex]
[tex]2[/tex]	[tex]14[/tex]
[tex]9[/tex]	[tex]15[/tex]
[tex]x[/tex]	[tex]16[/tex]
[tex]6[/tex]	[tex]17[/tex]

Sabendo que a média de idade de todos os alunos medalhistas é [tex]14 [/tex] anos, elabore e execute um plano de resolução de forma a determinar:
(a) Quantas comissões distintas podem ser formadas por dois alunos medalhistas.
(b) A probabilidade de a média de idade dos dois alunos da comissão ser inferior a [tex]16[/tex] anos.

Solução

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Determinaremos inicialmente o valor de [tex]x[/tex].

• Pelos dados do problema, sabemos que a média de idade de todos os alunos medalhistas da escola é [tex]14 [/tex] anos.
• Por outro lado, essa média é o quociente [tex]\dfrac{S}{Q}[/tex], em que [tex]S[/tex] é a soma das idades de todos os medalhistas e [tex]Q[/tex] é a quantidade de medalhistas. Assim, vamos utilizar os dados da tabela fornecida no problema e calcular [tex]\dfrac{S}{Q}[/tex].

Número de Medalhistas	Idade	Soma das idades
[tex]8[/tex]	[tex]11[/tex]	[tex]8 \times 11=88[/tex]
[tex]6[/tex]	[tex]12[/tex]	[tex]6 \times 12=72[/tex]
[tex]3[/tex]	[tex]13[/tex]	[tex]3 \times 13=39[/tex]
[tex]2[/tex]	[tex]14[/tex]	[tex]2 \times 14=28[/tex]
[tex]9[/tex]	[tex]15[/tex]	[tex]9 \times 15=135[/tex]
[tex]x[/tex]	[tex]16[/tex]	[tex]x \times 16=16x[/tex]
[tex]6[/tex]	[tex]17[/tex]	[tex]6 \times 17=102[/tex]
[tex]\boxed{Q=34+x}[/tex]		[tex]\boxed{S=464+16x}[/tex]

Como [tex]\dfrac{S}{Q}=14[/tex], segue que:

[tex]\qquad \dfrac{464+16x}{34+x}=14[/tex]

[tex]\qquad 464+16x=476+14x[/tex]
[tex]\qquad 2x=12[/tex]
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=6$}[/tex].

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(a) Determinado o valor de [tex]x[/tex], podemos afirmar que o número de alunos medalhistas é igual a [tex]34+6=40[/tex].
Para determinar o número de comissões distintas formadas por dois dos alunos medalhistas, vamos calcular as combinações dos [tex]40[/tex] alunos, tomados [tex]2[/tex] a [tex]2[/tex]:
[tex]\qquad C_{40,2}=\dfrac{40!}{2!(40-2)!}=\dfrac{40!}{2!38!}=780[/tex].

Portanto, podemos formar [tex]780[/tex] comissões distintas compostas por dois alunos medalhistas.

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(b) Seja [tex]M[/tex] o conjunto de todas as comissões de dois alunos medalhistas com média de idade inferior a [tex]16[/tex] anos.

• Para sabermos a quantidade de elementos de [tex]M[/tex], calcularemos a quantidade de elementos do seu complementar [tex]M^c[/tex], ou seja, trabalharemos com o conjunto das comissões formadas por alunos cuja média das idades seja maior ou igual a [tex]16[/tex] anos.

Para termos dois alunos com a média de idade igual ou superior a [tex]16[/tex] anos, a soma das idades desses dois alunos deverá ser igual a [tex]32[/tex] ou maior do que [tex]32[/tex]. Para isso, nas condições do problema, só existem as seguintes possibilidades:

[tex]\begin{array}{|l|l|}
\hline \textrm{Idades} & \textrm{Número de Comissões} \\
\hline \textrm{Dois alunos de 17 anos}& C_{6,2}=15\\
\hline \textrm{Um aluno de 16 anos e um aluno de 17 anos}& C_{6,1} \times C_{6,1}=36\\
\hline \textrm{Dois alunos de 16 anos}& C_{6,2}=15\\
\hline \textrm{Um aluno de 15 anos e um aluno de 17 anos}& C_{9,1} \times C_{6,1}=54\\
\hline
\end{array}[/tex]

Assim, o número de elementos do conjunto [tex]M^c[/tex] será
[tex]\qquad 15+36+15+54=120[/tex],
e podemos, então, concluir que o número de elementos do conjunto [tex]M[/tex] será
[tex]\qquad 780-120=660[/tex].
Logo, a probabilidade da média de idade dos dois alunos da comissão ser inferior a [tex]16[/tex] anos é igual a [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{660}{780}=\dfrac{11}{13}$} \, [/tex].

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.