Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Qual o maior valor que a função [tex]f(x) = \sqrt{3} \mbox{sen}(3x)+\cos(3x)[/tex] atinge?
Solução
Afirmamos que a função [tex]f[/tex] pode ser escrita sob a forma [tex]f(x) = R\,\mbox{sen}(3x+\alpha),[/tex] para algum [tex]R[/tex] e algum [tex]\alpha[/tex].
De fato, pela identidade do seno da soma, temos:
[tex]\qquad \mbox{sen}(3x + \alpha) = \mbox{sen}(3x)\cos(\alpha)+\mbox{sen}(\alpha)\cos(3x).[/tex]
Assim, para que [tex]R\,\mbox{sen}(3x)\cos(\alpha)+R\,\mbox{sen}(\alpha)\cos(3x)[/tex] seja igual a [tex]\sqrt{3}\mbox{sen}(3x)+\cos(3x)[/tex], basta que tenhamos as igualdades
[tex]\qquad R\cos(\alpha) = \sqrt{3}[/tex] e [tex]R\,\mbox{sen}(\alpha) = 1.[/tex]
Elevando ambos os membros das duas igualdades acima ao quadrado, obtemos
[tex]\qquad R^2\cos^2(\alpha) = 3[/tex] e [tex]R^2\,\mbox{sen}^2(\alpha) = 1.[/tex]
Somando-as, segue que devemos ter
[tex]\qquad R^2(\mbox{sen}^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)) = 4.[/tex]
Pela relação fundamental da trigonometria, [tex]\mbox{sen}^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1[/tex] para qualquer [tex]\alpha[/tex]. Assim, [tex]R^2=4[/tex].
Logo, [tex]R=2[/tex] ou [tex]R=-2[/tex]. Analisaremos os dois casos.
Se [tex]R=-2[/tex], as igualdades se tornam
[tex]\qquad \cos(\alpha)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex] e [tex]\mbox{sen}(\alpha)=-\dfrac{1}{2},[/tex]
que são satisfeitas por [tex]\alpha=\dfrac{7\pi}{6}[/tex]. Nesse caso,
[tex]\qquad f(x)=-2\mbox{sen}\left(3x+\dfrac{7\pi}{6}\right).[/tex]
Como o seno assume valores entre [tex]-1[/tex] e [tex]1[/tex], o maior valor dessa expressão ocorre quando o seno vale [tex]-1[/tex], resultando em [tex]-2\cdot(-1)=2[/tex]. Esse valor é atingido, por exemplo, quando [tex]x=\dfrac{\pi}{9}[/tex].
Escolhendo [tex]R=2[/tex], as igualdades se tornam
[tex]\qquad \cos(\alpha) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex] e [tex]\mbox{sen}(\alpha) = \dfrac{1}{2},[/tex]
as quais possuem uma solução [tex]\alpha[/tex] no intervalo [tex]0\lt \alpha\lt \dfrac{\pi}{2}[/tex].
Portanto, como queríamos provar, a função [tex]f[/tex] também pode ser escrita sob a forma [tex]f(x) = 2\mbox{sen}(3x+\alpha)[/tex]. Como o valor máximo da função seno é [tex]1[/tex], o maior valor que a função [tex]f[/tex] atinge é [tex]2\cdot 1 = \boxed{2}[/tex].
Observação: embora o valor de [tex]\alpha[/tex] não seja importante, ele pode ser encontrado facilmente. De fato, de [tex] \cos(\alpha) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex] e [tex]\mbox{sen}(\alpha) = \dfrac{1}{2}[/tex], e considerando [tex]0\lt \alpha\lt \dfrac{\pi}{2}[/tex], segue que [tex]\alpha = \dfrac{\pi}{6} \text{ rad}=30^\circ.[/tex]
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