Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Considere números de três dígitos formados com os algarismos do conjunto {1, 2, 3, 4}.
Uma transformação do tipo A altera o primeiro e o terceiro dígito, substituindo cada um pelo próximo dígito na ordem crescente. Caso o dígito seja 4, ele retorna para 1 (ciclo: 1 → 2 → 3 → 4 → 1).
Uma transformação do tipo B altera todos os três dígitos da mesma forma, cada um sendo substituído pelo próximo na ordem, com retorno de 4 para 1.
Uma transformação do tipo C altera o primeiro e o segundo dígito, também substituindo cada um pelo próximo na ordem crescente, com retorno de 4 para 1.
Por exemplo, partindo do número 321, a aplicação de uma única transformação produz:
- Tipo A: 321 → 422.
- Tipo B: 321 → 432.
- Tipo C: 321 → 431.
Sabendo disso, descreva uma sequência de transformações que converta o número 111 no número 421.
Solução 1
Estado inicial:
111 → (1,1,1)
Aplicando A (2 vezes):
Lembre que A incrementa o 1º e o 3º dígito.
1. Primeiro A:
(1,1,1) →[A] (2,1,2)
2. Segundo A:
(2,1,2) →[A] (3,1,3)
Aplicando B (2 vezes):
B incrementa todos os 3 dígitos.
1. Primeiro B:
(3,1,3) → (4,2,4)
2. Segundo B:
(4,2,4) → (1,3,1)
Aplicando C (3 vezes):
C incrementa o 1º e o 2º dígito.
1. Primeiro C:
(1,3,1) →[C] (2,4,1)
2. Segundo C:
(2,4,1) →[C] (3,1,1)
3. Terceiro C:
(3,1,1) →[C] (4,2,1)
Resultado final: 421
Solução elaborada pelo COM Os Matemáticos.
Solução 2
Observe que a ordem em que as transformações são aplicadas não altera o resultado final e, além disso, a cada quatro aplicações de uma transformação os resultados se repetem (o leitor está convidado a verificar estas afirmações). Seja [tex]x[/tex] o número de vezes que a transformação do tipo A é usada, [tex]y[/tex] o número de vezes que a transformação do tipo B é usada e [tex]z[/tex] o número de vezes que a transformação do tipo C é usada.
Com isso, podemos dizer que
- o resto da divisão de [tex]x+y+z[/tex] por [tex]4[/tex] é [tex]3[/tex], já que o dígito das centenas deve sair do [tex]1[/tex] e chegar no [tex]4[/tex],
- o resto da divisão de [tex]y+z[/tex] por [tex]4[/tex] é [tex]1[/tex], pois o dígito das dezenas deve sair do [tex]1[/tex] e chegar no [tex]2[/tex],
- e o resto da divisão de [tex]x+y[/tex] por [tex]4[/tex] é [tex]0[/tex], já que o dígito das unidades sai do [tex]1[/tex] e termina no [tex]1[/tex].
Assim, o resto da divisão de
[tex]\qquad{(x+y+z)-(y+z)=x}[/tex]
por [tex]4[/tex] é [tex]2[/tex].
Logo, devemos usar a transformação do tipo A uma quantidade de vezes que deixa resto [tex]2[/tex] quando dividida por [tex]4[/tex]. Como cada uma das transformações é cíclica com período [tex]4[/tex], vamos usá-la apenas [tex]2[/tex] vezes.
O resto da divisão de
[tex]\qquad{(x+y+z)-(x+y)=z}[/tex]
por [tex]4[/tex] é [tex]3[/tex]. Assim, devemos usar a transformação do tipo C uma quantidade de vezes que deixa resto [tex]3[/tex] quando dividida por [tex]4[/tex]. Como cada uma das transformações é cíclica com período [tex]4[/tex], vamos usá-la apenas [tex]3[/tex] vezes.
Finalmente, como [tex]x+y[/tex] deixa resto [tex]0[/tex], quando dividido por [tex]4[/tex], e [tex]x=2[/tex], então [tex]y=2[/tex], ou qualquer outro número que deixa resto [tex]2[/tex] quando dividido por [tex]4[/tex]. Assim, uma forma de transformar o [tex]111[/tex] em [tex]421[/tex] é por meio das transformações AABBCCC.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.