Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Consideremos as funções [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex] definidas por [tex]f(x)=a_1x^2+b_1x+c_1 \, [/tex] e [tex] \, g(x)=a_2x^2+b_2x+c_2[/tex], com [tex]a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2[/tex] constantes reais e [tex]a_1,\;a_2\neq 0[/tex]. Suponha que existem números reais [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex], com [tex]\alpha\neq \beta[/tex], tais que
[tex]f(\alpha)=f(\beta)=g(\alpha)=g(\beta)=0.[/tex]
Mostre que, para [tex]b_1,b_2,c_1,c_2[/tex] não nulos:
[tex]\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{c_2}{c_1}.
[/tex]
(Adaptado do livro "Temas e Problemas")
Solução
De acordo com o enunciado, temos que [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex] são soluções das equações do [tex]2^{\circ}[/tex] grau [tex]a_1x^2+b_1x+c_1=0[/tex] e [tex]a_2x^2+b_2x+c_2=0[/tex], sendo [tex]a_1\neq 0[/tex] e [tex]a_2\neq 0[/tex]. Pelas Relações de Girard (Se precisar, visite esta Sala):
\begin{equation}
\boxed{\dfrac{b_1}{a_1}=- (\alpha +\beta)\;\;\;\; \mbox{e}\;\;\;\; \dfrac{b_2}{a_2}=- (\alpha +\beta)
\, \, }\;\;\;\; \mbox{e}\;\;\;\; \boxed{\dfrac{c_1}{a_1}=\alpha \cdot \beta \;\;\;\; \mbox{e}\;\;\;\; \dfrac{c_2}{a_2}=\alpha \cdot \beta \, \, };
\end{equation}
assim, segue que:
\begin{equation}
\dfrac{b_1}{a_1}= \dfrac{b_2}{a_2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\textcolor{#800000}{(i)}\\
\, \, \\
\dfrac{c_1}{a_1}= \dfrac{c_2}{a_2}. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\textcolor{#800000}{(ii)}
\end{equation}
Como [tex] b_1,c_1,b_2,c_2[/tex] são não nulos, podemos reescrever [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
\begin{equation}
\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{b_2}{b_1}\;\;\;\mbox{e}\;\;\; \dfrac{a_2}{a_1}= \dfrac{c_2}{c_1}
\end{equation}
e, com isso, chegamos nas igualdades desejadas:
\begin{equation}
\dfrac{a_2}{a_1}= \dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{c_2}{c_1}.
\end{equation}
Notemos que nos casos em que [tex] b_1=0\;\mbox{ou}\; c_1=0[/tex], temos:
\begin{equation}
b_1=0\Leftrightarrow \dfrac{b_1}{a_1}=0 \Leftrightarrow \alpha+\beta=0 \Leftrightarrow \dfrac{b_2}{a_2}=0 \Leftrightarrow b_2=0;
\end{equation}
ou
\begin{equation}
c_1=0\Leftrightarrow \dfrac{c_1}{a_1}=0 \Leftrightarrow \alpha\cdot\beta=0 \Leftrightarrow \dfrac{c_2}{a_2}=0 \Leftrightarrow c_2=0.
\end{equation}
(Pela solução apresentada, podemos concluir que: Duas equações do 2 graus possuem as mesmas raízes se, e somente se, uma é múltipla da outra.)
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.