Problema
(Indicado a partir do 3º ano do E. M.)
Sejam [tex]\alpha, \beta, \gamma[/tex] as raízes da equação polinomial do terceiro grau [tex]x^3-x^2-2x+1=0[/tex]. Determine o valor da expressão
AJUDA
As Relações de Girard para uma equação cúbica da forma [tex]\boxed{x^3+kx^2+ lx+m=0}[/tex] garantem que, se considerarmos que [tex]x_1[/tex], [tex]x_2[/tex] e [tex]x_3[/tex] são as raízes dessa equação, então:
[tex]\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] [tex]x_1+x_2+x_3=-k [/tex];
[tex]\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] [tex] x_1\cdot x_2+ x_1\cdot x_3+ x_2\cdot x_3=l [/tex];
[tex]\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iiii)}[/tex] [tex] x_1\cdot x_2\cdot x_3=-m[/tex].
Solução
Das relações de Girard, vem:
[tex]\qquad \alpha+\beta+\gamma=1;[/tex]
[tex]\qquad \alpha \beta+\beta \gamma+ \gamma \alpha=-2;[/tex]
[tex]\qquad \alpha \beta \gamma=-1.[/tex]
Assim:
[tex]\qquad \sqrt[3]{\dfrac{\alpha^4}{\beta^2 \gamma^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{\beta^4}{\alpha^2 \gamma^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{\gamma^4}{\alpha^2 \beta^2}}[/tex]
[tex]\qquad =\sqrt[3]{\dfrac{\alpha^6}{\alpha^2 \beta^2 \gamma^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{\beta^6}{\alpha^2 \beta^2 \gamma^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{\gamma^6}{\alpha^2 \beta^2 \gamma^2}}[/tex]
[tex]\qquad =\sqrt[3]{\dfrac{\alpha^6}{(\alpha \beta \gamma)^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{\beta^6}{(\alpha \beta \gamma)^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{\gamma^6}{(\alpha \beta \gamma)^2}}[/tex]
[tex]\qquad =\sqrt[3]{\dfrac{\alpha^6}{(-1)^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{\beta^6}{(-1)^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{\gamma^6}{(-1)^2}}[/tex]
[tex]\qquad =\alpha^2+\beta^2+\gamma^2[/tex]
[tex]\qquad =(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha \beta+\beta \gamma+ \gamma \alpha)[/tex]
[tex]\qquad =(1)^2-2\cdot(-2)=5.[/tex]
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