.Problemão: Dois quadrados e dois retângulos

Link do problema para dispositivos da Apple.

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)


Que relação algébrica é possível deduzir a partir da imagem abaixo, na qual visualizamos dois retângulos iguais, embora coloridos com cores distintas, e dois quadrados distintos?

 
Você pode utilizar um APPLET para ajudar a encontrar uma solução do problema. É só clicar no botão abaixo!

Instruções:
(1) Espere o applet carregar. (O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.)
(2) Para transladar qualquer quadrilátero, clique sobre ele com qualquer botão do mouse, mantenha o mouse pressionado e faça o movimento. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente no quadrilátero e fazer o movimento.)
(3) Para rodar qualquer quadrilátero, clique com qualquer botão do mouse sobre o vértice destacado, mantenha o mouse pressionado e rode-o. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente no ponto e fazer o movimento.)
(4) Para modificar o comprimento dos lados de um dos quadrados, e os lados correspondentes dos retângulos, clique com o botão esquerdo do mouse sobre o ponto a (ou b), mantenha o mouse pressionado e movimente-o horizontalmente.
(5) Para reiniciar o processo, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do aplicativo.
(6) Você pode utilizar o aplicativo fora do Fórum dos Clubes, usando este link:
https://www.geogebra.org/m/q2xpbewh

É só copiar o link e usar!


OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra
Observamos que o applet ajuda na visualização da resposta;
mas, matematicamente, não substitui sua demonstração.

 

Solução


Observando a figura abaixo, vemos que, geometricamente a área [tex]S_{ABHF}[/tex] do retângulo roxo pode ser calculada como a diferença entre as áreas [tex]S_{ABCD}[/tex] e [tex]S_{FHCD}[/tex] respectivas dos também retângulos [tex]ABCD[/tex] e [tex]FHCD[/tex], o que nos fornece a igualdade:
[tex]\qquad S_{ABHF}=S_{ABCD}-S_{FHCD}.\qquad \textcolor{#9966FF}{(i)}[/tex]
Particularmente, a área do retângulo [tex]FHCD[/tex] é a soma das áreas do retângulo [tex]FGED[/tex] e do quadrado [tex]GHCE[/tex], ou seja:
[tex]\qquad S_{FHCD}=S_{FGED}+S_{GHCE}.\qquad \textcolor{#9966FF}{(ii)}[/tex]
Portanto, das igualdades [tex]\textcolor{#9966FF}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#9966FF}{(ii)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad S_{ABHF}=S_{ABCD}-\left(S_{FGED}+S_{GHCE}\right)\\
\qquad S_{ABHF}=S_{ABCD}-S_{FGED}-S_{GHCE} .\qquad \textcolor{#9966FF}{(iii)}[/tex]
Mas, a partir das medidas [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] definidas na mesma figura, podemos reescrever algebricamente a igualdade [tex]\textcolor{#9966FF}{(iii)}.[/tex] Observe
[tex]\qquad S_{ABHF}=S_{ABCD}-S_{FGED}-S_{GHCE} \\
\qquad (a+b) \cdot (a-b)= a \cdot (a+b) -a \cdot b- b^2\\
\qquad (a+b) \cdot (a-b)= a^2 +a \cdot b -a \cdot b- b^2\\
\qquad (a+b) \cdot (a-b)= a^2 – b^2.[/tex]
A igualdade [tex]\boxed{ (a+b) \cdot (a-b)= a^2 – b^2}[/tex] obtida nada mais é do que o produto notável denominado produto da soma pela diferença de dois termos.


COM União Fibonacci (IFRN – Campus Nova Cruz, RN).
Equipe COM – OBMEP.

 

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problemao-dois-retangulos-e-dois-quadrados-2/

Deixe uma resposta