Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Explique por que, em um conjunto com sete números naturais, é sempre possível escolher dois números deste conjunto de forma que a diferença dos seus quadrados seja um número múltiplo de [tex]10[/tex].
Solução
Observe como se comportam os dígitos das unidades dos números naturais quando são elevados ao quadrado:
\begin{array}{ccc}
\cdots 0^2 & =& \cdots 0\\
\cdots 1^2 & =& \cdots 1\\
\cdots 2^2 & =& \cdots 4\\
\cdots 3^2 & =& \cdots 9\\
\cdots 4^2 & =& \cdots 6\\
\cdots 5^2 & =& \cdots 5\\
\cdots 6^2 & =& \cdots 6\\
\cdots 7^2 & =& \cdots 9\\
\cdots 8^2 & =& \cdots 4\\
\cdots 9^2 & =& \cdots 1
\end{array}
Isso mostra que existem [tex]6[/tex] possíveis dígitos para os quadrados dos sete números no conjunto do enunciado. Assim, pelo Princípio das Casas de Pombos, devem existir dois números [tex]n[/tex] e [tex]m[/tex], com [tex]n\gt m[/tex] por exemplo, tais que [tex]n^2[/tex] e [tex]m^2[/tex] possuem o mesmo dígito das unidades. Logo, [tex]n^2-m^2[/tex] será um número com dígito das unidades igual a [tex]0[/tex], ou seja, será um múltiplo de [tex]10[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.