Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Num triângulo [tex]ABC[/tex], indicamos por [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] as medidas dos lados opostos aos ângulos [tex]\hat{A}[/tex], [tex]\hat{B}[/tex] e [tex]\hat{C}[/tex], respectivamente.
(a) Prove que [tex]\dfrac{a}{b+c} = \dfrac{sen \hat{A}}{sen \hat{B} + sen \hat{C}} \, [/tex].
(b) Escreva [tex]sen \hat{A}[/tex] em função de [tex]sen \dfrac{\hat{A}}{2}\,\,[/tex] e [tex]\,\,cos \dfrac{\hat{A}}{2} \, [/tex].
(c) Transforme [tex]sen \hat{B} + sen \hat{C}[/tex] num produto.
(d) Utilize os itens anteriores para provar que [tex]sen \dfrac{\hat{A}}{2} \leq \dfrac{a}{b+c} \, [/tex].
Solução
(a) Pela lei dos senos, temos [tex]\dfrac{a}{sen \hat{A}} = \dfrac{b}{sen \hat{B}} = \dfrac{c}{sen \hat{C}}[/tex].
Portanto,
[tex]\qquad \begin{cases}a \, sen \hat{B}=b \, sen \hat{A}\\
a \, sen \hat{C}=c \, sen \hat{A}
\end{cases}.[/tex]
Somando termo a termo essas duas equações, segue que:
[tex]\qquad a \, sen \hat{B}+a \, sen \hat{C}=b \, sen \hat{A}+c \, sen \hat{A}[/tex]
[tex]\qquad a \left(sen \hat{B}+sen \hat{C}\right)=\left(b+c\right) \, sen \hat{A}.[/tex]
Como [tex]sen \hat{B}+sen \hat{C}\ne 0 \, [/tex] e [tex] \, b+c \ne 0[/tex] (Por quê?), segue que:
[tex]\qquad \boxed{ \dfrac{a}{b+c} = \dfrac{sen \hat{A}}{sen\hat{B}\, +\, sen\hat{C}}} \, . \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
(b) Pela fórmula do seno do arco duplo, temos
[tex]\qquad \boxed{sen \hat{A} = 2 \cdot sen \dfrac{\hat{A}}{2} \cdot cos \dfrac{\hat{A}}{2}} \, . \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
(c) Pelas transformações em produto, temos
[tex]\qquad \boxed{sen \hat{B} + sen \hat{C} = 2 \cdot sen \dfrac{\hat{B} + \hat{C}}{2} \cdot cos \dfrac{\hat{B} – \hat{C}}{2}} \, . \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
(d) Utilizando as igualdades [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad \begin{align*} \dfrac{a}{b+c} & \stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{=}\dfrac{sen \hat{A}}{sen\hat{B}\, +\, sen\hat{C}}\\
&\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{=}\dfrac{2 \cdot sen \dfrac{\hat{A}}{2} \cdot cos \dfrac{\hat{A}}{2}}{sen\hat{B}\, +\, sen\hat{C}}\\
&\stackrel{\textcolor{#800000}{(iii)}}{=}\dfrac{2 \cdot sen \dfrac{\hat{A}}{2} \cdot cos \dfrac{\hat{A}}{2}}{2 \cdot sen \dfrac{\hat{B} + \hat{C}}{2} \cdot cos \dfrac{\hat{B} – \hat{C}}{2}}\\
&=\dfrac{\cancel{2} \cdot sen \dfrac{\hat{A}}{2} \cdot cos \dfrac{\hat{A}}{2}}{\cancel{2} \cdot sen \left(90^{\circ} – \dfrac{\hat{A}}{2}\right) \cdot cos \dfrac{\hat{B} – \hat{C}}{2}}\\
&=\dfrac{ sen \dfrac{\hat{A}}{2} \cdot \cancel{cos \dfrac{\hat{A}}{2}}}{\cancel{sen \left(90^{\circ} – \dfrac{\hat{A}}{2}\right)} \cdot cos \dfrac{\hat{B} – \hat{C}}{2}}\\
\end{align*}[/tex]
Assim, [tex]\dfrac{a}{b+c} = \dfrac{sen \dfrac{\hat{A}}{2}}{ cos \dfrac{\hat{B} – \hat{C}}{2}} \, . \quad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]
Sendo [tex]0\leq cos \dfrac{\hat{B} – \hat{C}}{2} \leq 1[/tex], temos [tex]\boxed{\dfrac{1}{cos \dfrac{\hat{B} – \hat{C}}{2}} \geq 1} \, . \quad \textcolor{#800000}{(v)}[/tex]
Por outro lado, como [tex]\dfrac{\hat{A}}{2}[/tex] é um ângulo agudo, [tex]\boxed{sen \dfrac{\hat{A}}{2} \gt 0} \, . \quad \textcolor{#800000}{(vi)}[/tex]
Dessa forma, por [tex]\textcolor{#800000}{(v)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(vi)}[/tex], temos que
[tex]\qquad sen \dfrac{\hat{A}}{2} \leq \dfrac{sen \dfrac{\hat{A}}{2}}{ cos \dfrac{\hat{B} – \hat{C}}{2}}[/tex],
donde, por [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex], segue finalmente que [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$sen \dfrac{\hat{A}}{2} \leq \dfrac{a}{b+c}$} \, .[/tex]
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