Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Em determinada sala de aula, há [tex]8[/tex] meninas e [tex]10[/tex] meninos. Para fazer um trabalho escolar, todos eles devem sentar-se em uma mesa redonda. De quantos modos é possível formar esta mesa redonda sem que haja duas meninas em cadeiras adjacentes?
Extraído de Análise Combinatória e Probabilidade de Augusto César Morgado et. al.
O número de subconjuntos sem números consecutivos, com [tex]p[/tex] elementos do conjunto [tex]\{1,2,3,…,n \}[/tex], considerando [tex]1[/tex] e [tex]n[/tex] como consecutivos, é igual a
[tex]\qquad \qquad \boxed{g(n,p)=\dfrac {n}{n-p} \cdot C_{n-p,p}}.[/tex]
Solução
Há [tex]18[/tex] cadeiras disponíveis. Devemos escolher [tex]8[/tex] delas para colocar as [tex]8[/tex] meninas, sem que duas meninas fiquem em cadeiras adjacentes. Pelo 2º Lema de Kaplansky, isso pode ser feito de
[tex]\qquad \dfrac{18}{18-8} \cdot C_{18-8, 8} = \dfrac{18}{10} \cdot C_{10, 8}[/tex] modos.
Selecionadas as cadeiras para as meninas, elas ainda podem permutar entre si de [tex]8![/tex] modos, e os [tex]10[/tex] meninos podem permutar entre si nas [tex]10[/tex] cadeiras restantes de [tex]10![/tex] modos. A resposta parece ser [tex]\dfrac{18}{10} \cdot C_{10, 8} \cdot 8! \cdot 10![/tex]. No entanto, a roda pode ser girada de [tex]18[/tex] modos, e por isso contamos cada roda [tex]18[/tex] vezes. Logo, devemos dividir o resultado por [tex]18[/tex], ou equivalentemente, multiplicar por [tex]\dfrac{1}{18}[/tex]. Portanto, a resposta é:
[tex]\qquad \dfrac{1}{18} \cdot \dfrac{18}{10} \cdot C_{10, 8}\cdot 8! \cdot 10!= C_{10, 8} \cdot 8! \cdot 9!=\dfrac{10!}{8!2!}\cdot 8!\cdot 9!=5\cdot 9!\cdot 9!.[/tex]
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