.Problemão: Cilindro Dividido

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

(Problema adaptado de Olimpíada Americana) Um cilindro circular reto de isopor com raio da base medindo $2\ cm$ e altura $2 \sqrt{2}\ cm$ foi seccionado por um plano que o dividiu ao meio de forma que os pontos $A$ e $B$ foram marcados na circunferência de uma das bases e os pontos $C$ e $D$ foram marcados na face oposta conforme figura. Sabe-se que o arco menor que passa por $A$ e $B$ é de $120^\circ$ (ver figura), bem como o arco menor que passa por $C$ e $D$.

Determine a área do retângulo formado na secção do cilindro quando ligamos os pontos $A$, $B$, $C$, $D$ por segmentos de reta.

Solução

$\textcolor{#800000}{(1)}$ Inicialmente, vamos calcular a medida do lado $AB$ do retângulo $ABCD$. Para isso, seja $O$ o centro da circunferência na qual os pontos $A$ e $B$ foram marcados, conforme mostra a figura a seguir.

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo $AOB$ e sabendo que o arco menor que passa por $A$ e $B$ é de $120^\circ$, vem que:
$\qquad (AB)^2=2^2+2^2-2\cdot 2 \cdot 2 \cdot cos 120^\circ$
$\qquad (AB)^2=8-8\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)$
$\qquad (AB)^2=12$
$\qquad \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$AB=2\sqrt{3} \, cm$} \, ,$ uma vez que a medida do segmento $AB$ é positiva.

$\textcolor{#800000}{(2)}$ Para determinar a medida do lado $BC$ do retângulo $ABCD$, tomemos $C’$ e $D’$, projeções de $C$ e $D$, respectivamente, sobre a circunferência que contém $A$ e $B$.
Observe a figura abaixo e perceba que, como o arco menor que passa por $A$ e $B$ é de $120^\circ$, o ângulo $B\hat{O}A$ mede $120^\circ$ e, com isso, a medida em graus do ângulo $B\hat{O}C'$ é dada por $\boxed{180^\circ-120^\circ=60^\circ}.$
Como $OB=OC’=2$ e a medida de $B\hat{O}C'$ é $60^\circ$, o triângulo $OBC’$ é equilátero de lado $2$.

A medida de $BC$ é obtida utilizando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo $BCC’$. Veja:
$\qquad (BC)^2=2^2+(2\sqrt{2})^2$
$\qquad (BC)^2=4+8$
$\qquad (BC)^2=12$
$\qquad \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$(BC)=2\sqrt{3}\ cm$} \, .$

Finalmente, a área do retângulo $ABCD$ é $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(AB)\cdot(BC)=2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}=12 \, cm^2$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.