Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Uma calculadora diferente tem apenas as teclas numéricas de [tex]0[/tex] a [tex]9[/tex] e duas teclas especiais A e B. Quando a tecla A é apertada, o número que aparece no visor é elevado ao quadrado; quando a tecla B é apertada, soma-se [tex]1[/tex] ao número que aparece no visor. Veja uma forma de obter o [tex]17[/tex] na calculadora AB. Podemos digitar o [tex]1[/tex] e apertar as teclas A e B na ordem BAAB, como ilustrado abaixo:
$$1 \overset{B}{ \longrightarrow} 2 \overset{A}{ \longrightarrow} 4 \overset{A}{ \longrightarrow} 16 \overset{B}{ \longrightarrow} 17 $$
É possível obter o número [tex]48\ 937\ 247\ 493 \ 728[/tex] na calculadora AB com a condição de nunca apertar a tecla B mais de uma vez consecutiva?
Solução
Observe como se comportam os dígitos das unidades dos números sob o efeito da tecla A na calculadora AB.
[tex]\qquad{\cdots 1 \ \ \overset{A}{ \longrightarrow} \ \ \cdots 1}[/tex]
[tex]\qquad{\cdots 2 \ \ \overset{A}{ \longrightarrow} \ \ \cdots 4}[/tex]
[tex]\qquad{\cdots 3 \ \ \overset{A}{ \longrightarrow} \ \ \cdots 9}[/tex]
[tex]\qquad{\cdots 4 \ \ \overset{A}{ \longrightarrow} \ \ \cdots 6}[/tex]
[tex]\qquad{\cdots 5 \ \ \overset{A}{ \longrightarrow} \ \ \cdots 5}[/tex]
[tex]\qquad{\cdots 6 \ \ \overset{A}{ \longrightarrow} \ \ \cdots 6}[/tex]
[tex]\qquad{\cdots 7 \ \ \overset{A}{ \longrightarrow} \ \ \cdots 9}[/tex]
[tex]\qquad{\cdots 8 \ \ \overset{A}{ \longrightarrow} \ \ \cdots 4}[/tex]
[tex]\qquad{\cdots 9 \ \ \overset{A}{ \longrightarrow} \ \ \cdots 1}[/tex]
Suponhamos que fosse possível obter o número [tex]48\ 937\ 247\ 493 \ 728[/tex] partindo de uma das teclas numéricas de [tex]0[/tex] a [tex]9[/tex]. Então, a última tecla apertada não poderia ser a A, já que apertar esta tecla sempre tem como resultado números que não terminam em [tex]8[/tex]. Portanto, a última tecla apertada deveria ser a tecla B e o número que estaria no visor antes de apertar essa tecla é o [tex]48\ 937\ 247\ 493 \ 727[/tex]. Entretanto, como não podemos usar a tecla B mais de uma vez consecutiva, esse número deveria ter sido atingido após o uso da tecla A, mas isso é um absurdo, pois apertar esta tecla sempre tem como resultado números que não terminam em [tex]7[/tex]. Portanto, não é possível obter o número [tex]48\ 937\ 247\ 493 \ 728[/tex] na calculadora AB com a condição de nunca apertar a tecla B mais de uma vez consecutiva.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.