Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Na expansão de [tex](ax + b)^{2000}[/tex], na qual [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são inteiros positivos e primos relativos entre si, os coeficientes de [tex]x^2[/tex] e [tex]x^3[/tex] são iguais.
Calcule [tex]a+b[/tex].
Solução
Pela fórmula do binômio de Newton, nós temos que, na expansão da expressão [tex](ax + b)^{2000}[/tex]:
• [tex]\binom{2000}{2} b^{1998}a^2[/tex] é o coeficiente de [tex]x^2[/tex];
• [tex]\binom{2000}{3}b^{1997}a^3[/tex] é o coeficiente de [tex]x^3[/tex].
Como esses coeficientes são iguais, temos que [tex]\binom{2000}{2} b^{1998}a^2 = \binom{2000}{3}b^{1997}a^3 [/tex] e, portanto,
[tex]\qquad b=\dfrac{\binom{2000}{3}}{\binom{2000}{2}}\times a=\bigg(\dfrac{\cancel{2000}\times \cancel{1999}\times 1998}{3\times \cancel{2}\times \cancel{1}}\bigg)\times \bigg(\dfrac{\cancel{2}\times \cancel{1}}{\cancel{2000} \times \cancel{1999}}\bigg)\times a\\
\qquad b=\dfrac{1998}{3}\times a=666 \times a\,.[/tex]
A igualdade [tex]b=666 \times a[/tex] nos garante que [tex]a[/tex] é divisor de [tex]b[/tex]; mas como [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são inteiros positivos e primos relativos entre si, temos apenas uma opção: [tex]a=1[/tex] e [tex]b=666[/tex].
Com isso, [tex]\boxed{a+b=667}[/tex].
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