.Problemão: Ângulo x

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

Determine o valor do ângulo

$x$ , sabendo que

$M$ é ponto médio do segmento

$BC$ .

Lembretes e notação

(1) Se um triângulo inscrito à uma circunferência possui um dos lados como diâmetro, então esse triângulo é retângulo.
(2) A mediana de um triângulo retângulo com extremidade no vértice do ângulo reto mede a metade da hipotenusa.
Todo triângulo isósceles possui os lados adjacentes à base congruentes e ângulos da base com mesma medida.
Se um triângulo isósceles possui um ângulo interno medindo $60^\circ$ , então esse triângulo é equilátero.
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é $180^\circ$ .
Notação: Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos $A$ e $B$ , por $AB$ e o seu comprimento por $\overline{AB}$ .

Solução

Como $M$ é ponto médio do segmento $BC$ , construindo a circunferência de centro $M$ e raio de comprimento $\overline{MC}$ , podemos garantir que o ponto $B$ também pertence a essa circunferência.

Podemos, então, prolongar o segmento $AB$ , interceptando a circunferência em um ponto $F$ . Pelo Lembrete 1, o triângulo $BFC$ é retângulo em $F$ .

De acordo com o Lembrete 2, a mediana $FM$ do triângulo $BCF$ é congruente aos segmentos $MB$ e $MC$ . Com isso, podemos construir dois triângulos isósceles $FMB$ e $FMC$ . Pelo Lembrete 3, obtemos que a medida do ângulo $B\hat{F}M$ é $30^\circ$ e, consequentemente, a medida do ângulo $M\hat{F}C$ é $90^\circ-30^\circ=60^\circ$ .

Agora, pelo fato de o triângulo $FMC$ ser isósceles e possuir um ângulo medindo $60^\circ$ , pelo Lembrete 4, garantimos que ele é um triângulo equilátero. Portanto, o segmento $FC$ é congruente aos segmentos $FM$ e $CM$ e o ângulo $F\hat{C}A$ tem medida $60^\circ-15^\circ=45^\circ.$

Vamos analisar agora o triângulo $FAC$ . Pelo Lembrete 5, concluímos que o ângulo $F\hat{A}C$ mede $180^\circ-90^\circ-45=45^\circ$ . Portanto, o triângulo é isósceles, com $FA$ congruente a $FC$ .

Para finalizar, note que o triângulo $FAM$ também é isósceles. Novamente, pelo Lembrete 3, concluímos que o ângulo $F\hat{A}M$ possui a mesma medida que o ângulo $F\hat{M}A$ .

Finalmente, utilizando o Lembrete 5 no triângulo $FAM$ , temos que $\boxed{\left(x+45^\circ\right)+\left(x+45^\circ\right) +30^\circ=180^\circ}$ , donde concluímos que $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ x=30^\circ$} \, .$

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