Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(FUVEST) Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo-secreto (ou amigo-oculto).
O nome de cada um é escrito em um pedaço de papel, que é colocado em uma urna.
Em seguida, cada participante da brincadeira retira da urna um dos pedaços de papel, ao acaso.
Qual a probabilidade de que nenhum participante retire seu próprio nome?
Solução
Considere [tex](x \, ; \, y \, ; \, z \, ; \, w)[/tex] a solução ordenada na qual [tex]x, y, z[/tex] e [tex]w[/tex] são as pessoas “tiradas” por Cláudia [tex](C)[/tex], Paulo [tex](P)[/tex], Rodrigo [tex](R)[/tex] e Ana [tex](A)[/tex], respectivamente.
Sabemos que das [tex]4!=24[/tex] possibilidades distintas de se retirar os nomes, as [tex]9[/tex] seguintes correspondem às que ninguém retira seu próprio nome:
- [tex](P; A; C; R),[/tex]
- [tex](A; R; C; P), [/tex]
- [tex](R; C; A; P), [/tex]
- [tex](P; C; A; R),[/tex]
- [tex] (R; A; C; P), [/tex]
- [tex](A; R; P; C), [/tex]
- [tex](R; A; P; C), [/tex]
- [tex](A; C; P; R), [/tex]
- [tex](P; R; A; C) \, .[/tex]
Deste modo, a probabilidade de que nenhum participante retire seu próprio nome é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{9}{24}=\dfrac{3}{8}$} \, .[/tex]
(Uma permutação em que nenhum objeto “permanece” na sua posição original é chamada de permutação caótica. Neste problema, temos um exemplo de permutação caótica. No nosso Blog, temos uma Sala para Leitura sobre esse assunto; se quiser aprender um pouco mais, clique AQUI.)
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.