Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Resolva no conjunto [tex]\mathbb{R}[/tex] dos números reais a equação [tex]\,\boxed{x^{2}+4xcos(xy)+4=0}\,.[/tex]
(Problemas de Matemática Elementar; V. B. Lidski,1972)
Solução
Observe que podemos reescrever a equação original da seguinte forma:
[tex]\qquad x^{2}+2x\cdot 2cos(xy)+4=0[/tex].
Agora, adicionando [tex]4cos^{2}(xy)[/tex] a ambos os membros da igualdade, vem que:
[tex]\qquad x^{2}+2x\cdot 2cos(xy) +4+4cos^{2}(xy)=4cos^{2}(xy)[/tex].
Agrupando as parcelas segue que:
[tex]\qquad x^{2}+2x\cdot 2cos(xy)+4cos^{2}(xy) +4-4cos^{2}(xy)=0\\
\qquad [x+2cos(xy)]^{2}+4[1-cos^{2}(xy)]=0\,.[/tex]
Pela relação fundamental trigonométrica, [tex]\boxed{1-cos^{2}(xy)=sen^2(xy)}[/tex]; assim, segue da última igualdade que:
[tex] \qquad [x+2cos(xy)]^{2}+4sen^{2}(xy)=0\\
\qquad [x+2cos(xy)]^{2}+[2sen(xy)]^{2}=0.[/tex]
Perceba que nessa última igualdade, temos uma soma de quadrados igual a zero; e isso só ocorre se ambos os quadrados forem iguais a zero. Portanto, [tex][2sen(xy)]^{2}=0\,[/tex] e [tex]\,[x+2cos(xy)]^{2}=0[/tex].
Vamos analisar separadamente essas duas novas igualdades:
-
[tex][2sen(xy)]^{2}=0\\
4sen^{2}(xy)=0\\
sen^{2}(xy)=0\\
1-cos^{2}(xy)=0\\
cos (xy)=\pm1\,.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] - [tex] [x+2cos(xy)]^{2}=0\\
x+2cos(xy)=0 \\
x=-2cos(xy)\,. \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], temos que [tex]\boxed{x=\pm2}\,.[/tex]
Fazendo [tex]x=-2[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad -2=-2cos(-2y)\\
\qquad cos (-2y)=1\\
\qquad 2y=2k\pi\\
\qquad y=k\pi\,, \;k\in\mathbb{Z}\,.[/tex]
Fazendo [tex]x=2[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]:
[tex]\qquad 2=-2cos(2y)\\
\qquad cos (2y)=-1\\
\qquad 2y=\pi + 2k\pi\\
\qquad y=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\,, \; k\in\mathbb{Z}\,.[/tex]
Dessa forma, temos duas famílias de soluções:
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=-2 \text{ e } y=k\pi, k\in\mathbb{Z}$}[/tex]
ou
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=2\text{ e }y=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}$}\,[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.