Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
(IME) Considere a equação [tex]p^{n}+144=q^{2}[/tex], na qual [tex]n[/tex] e [tex]q[/tex] são números naturais e [tex]p[/tex] é um número primo.
Encontre os possíveis valores de [tex]n[/tex], [tex] \, q \, [/tex] e [tex] \, p.[/tex]
Solução
Se [tex]p^{n}+144=q^{2}[/tex], então [tex]p^{n}=q^{2}-144[/tex]; assim, pela fatoração diferença de quadrados, obtemos:
[tex]\qquad \qquad p^{n}=(q+12) \cdot (q-12).\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Mas [tex]p[/tex] é primo e [tex]q[/tex] é natural; logo, pela última equação, podemos concluir que tanto [tex]q+12[/tex] como [tex]q-12[/tex] podem ser escritos como potências de base [tex]p[/tex], ou seja, [tex]q+12=p^{a}[/tex] e [tex]q-12=p^{b}[/tex], com [tex]b \lt a \le n[/tex], pois [tex]q-12 \lt q+12 \le p^{n}[/tex].
Pelo fato de [tex]a>b[/tex], podemos garantir que [tex]\dfrac {p^{a}}{p^{b}}[/tex] é um número natural. Portanto, [tex]\dfrac {q+12}{q-12}[/tex] é um número natural.
Repare que
[tex]\qquad \qquad \dfrac {q+12}{q-12} = \dfrac {(q-12)+24}{q-12}= 1+ \dfrac {24}{q-12} \, [/tex],
portanto, concluímos que [tex]q-12[/tex] é um divisor natural de [tex]24.[/tex]
Como o conjunto de divisores naturais de [tex]24[/tex] é [tex] D(24)=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}[/tex],
podemos analisar e verificar as possíveis soluções:
1º caso: [tex]q-12=1[/tex]
Se [tex]q-12=1[/tex], então [tex]q=13[/tex] e, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]p^{n}=25 \cdot1 =5^{2}.[/tex]
Assim, teremos a solução [tex]\boxed{q=13}[/tex], [tex]\boxed{p=5}[/tex] e [tex]\boxed{n=2} \, .[/tex]
2º caso: [tex]q-12=2[/tex]
Se [tex]q-12=2[/tex], então [tex]q=14[/tex] e, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]p^{n}=26 \cdot2 =52.[/tex]
Como [tex]52[/tex] não é uma potência de um número primo, não teremos solução para o caso [tex]q=14.[/tex]
3º caso: [tex]q-12=3[/tex]
Se [tex]q-12=3[/tex], então [tex]q=15[/tex] e, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]p^{n}=27 \cdot 3 =3^{4}.[/tex]
Assim, teremos a solução [tex]\boxed{q=15}[/tex], [tex]\boxed{p=3}[/tex] e [tex]\boxed{n=4} \, .[/tex]
4º caso: [tex]q-12=4[/tex]
Se [tex]q-12=4[/tex], então [tex]q=16[/tex] e, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]p^{n}=28 \cdot4 =112.[/tex]
Como [tex]112[/tex] não é uma potência de um número primo, não teremos solução para [tex]q=16.[/tex]
5º caso: [tex]q-12=6[/tex]
Se [tex]q-12=6[/tex], então [tex]q=18[/tex] e, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]p^{n}= 30 \cdot 6 =180.[/tex]
Como [tex]180[/tex] não é uma potência de um número primo, não teremos solução para [tex]q=18.[/tex]
6º caso: [tex]q-12=8[/tex]
Se [tex]q-12=8[/tex], então [tex]q=20[/tex] e, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]p^{n}=32 \cdot 8 =2^{8}.[/tex]
Assim, teremos a solução [tex]\boxed{q=20}[/tex], [tex]\boxed{p=2}[/tex] e [tex]\boxed{n=8}.[/tex]
7º caso: [tex]q-12=12[/tex]
Se [tex]q-12=12[/tex], então [tex]q=24[/tex] e, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]p^{n}= 36\cdot 12 =432.[/tex]
Como [tex]432[/tex] não é uma potência de um número primo, não teremos solução para [tex]q=24.[/tex]
8º caso: [tex]q-12=24[/tex]
Se [tex]q-12=24[/tex], então [tex]q=36[/tex] e, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]p^{n}= 48\cdot 24 =1152.[/tex]
Como [tex]1152[/tex] não é uma potência de um número primo, não teremos solução para [tex]q=36[/tex].
Dessa forma, temos três soluções:
- [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$q=13, \, p=5 \text{ e }n=2$} \, [/tex],
- [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$q=15, \, p=3 \text{ e }n=4$} \, [/tex],
- [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$q=20, \, p=2 \text{ e }n=8$} \, [/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.