Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Dadas as equações [tex]a+b+c=0[/tex], [tex]a^2+b^2+c^2=1[/tex] e [tex]a^3+b^3+c^3=4abc[/tex], encontre os valores dos números reais [tex]a, b, c[/tex].
Solução
Desenvolvendo o produto notável, observe que:
[tex](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\Rightarrow 0^2=1+2(ab+bc+ca)\Rightarrow ab+bc+ca =-\dfrac{1}{2}.[/tex]
Agora, perceba que:
[tex]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\Rightarrow 4abc-3abc=0\Rightarrow abc=0.[/tex]
Se [tex]a+b+c=0[/tex], [tex]ab+bc+ca=-\dfrac{1}{2}[/tex] e [tex]abc=0[/tex], então, pelas relações de Girard, podemos escrever uma equação do terceiro grau com raízes [tex]a, b, c[/tex] da seguinte forma:
[tex]x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc= x^3-\dfrac{x}{2}=x\left(x^2-\dfrac{1}{2}\right)=0[/tex].
Assim, temos [tex]x=0[/tex] ou [tex]x^2-\dfrac{1}{2}=0[/tex], donde [tex] x=0[/tex] ou [tex]x=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex].
Sem perda de generalidade, podemos tomar [tex]a=0[/tex], [tex]b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex] e [tex]c=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.