Problema
(Indicado a partir da 2ª série do E. M.)
Inicialmente, um tonel com capacidade de [tex]10000[/tex] litros contém vinho, apenas. Inicia-se, então, iterações sucessivas de um processo com três etapas bem demarcadas, a saber:
I. retirada de [tex]1[/tex] litro da mistura líquida homogênea do tonel;
II. subsequente reposição de [tex]1[/tex] litro de água no tonel;
III. homogeneização da mistura líquida no tonel.
Sabendo que se [tex]0 \lt a \lt 0,001[/tex], então o valor de [tex](1-a)^{10}[/tex] é bem aproximado por [tex]1-10 \cdot a[/tex], calcule o percentual aproximado de água no tonel, após [tex]10[/tex] iterações do processo descrito acima.
Extraído de PISM-UFJF.
Solução
Como ocorre a homogeneização da mistura líquida no tonel, a cada iteração há uma perda de [tex]0,01 \% [/tex], ou seja, [tex]\bigg(\dfrac {1}{10000}\bigg)[/tex] de vinho. Assim, a cada iteração devemos multiplicar o volume restante de vinho por [tex](1-0,0001)[/tex].
Dessa forma, após [tex]10[/tex] iterações o volume de vinho será:
[tex]10000 \cdot (1-0,0001)^{10}.[/tex]
Pelo enunciado, [tex](1-0,0001)^{10}\approx 1-10 \cdot 0,0001=1-0,001[/tex].
Assim:
[tex]10000 \cdot(1-0,0001)^{10}\approx 10000 \cdot (1-0,001)=10000-10=9990.[/tex]
Logo, há uma perda de [tex]10[/tex] litros de vinho e, portanto, há um volume de [tex]10[/tex] litros de água.
O percentual de água procurado é de [tex]\dfrac {10}{10000}= \dfrac {0,1}{100}=0,1 \%.[/tex]
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