.Problema: Verificação de identidade

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

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(EsPCEx, 2001 – Adaptado) Sejam $A = sen^2x,$ $B = cos^2x,$ $C = sec^2x$ e $D = csc^2x$, com $x\neq k \cdot \dfrac{\pi}{2}$ ($k$ um número inteiro qualquer).
Mostre que $\dfrac{1}{1+A}+\dfrac{1}{1+B}+\dfrac{1}{1+C}+\dfrac{1}{1+D} = 2$.

Solução

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Fazendo a substituição dos valores de $A, B, C$ e $D$, segue que:
$~\\ \quad \begin{align}\dfrac{1}{1+A}+\dfrac{1}{1+B}+\dfrac{1}{1+C}+\dfrac{1}{1+D}&=\dfrac{1}{1+sen^2x}+\dfrac{1}{1+cos^2 x}+\dfrac{1}{1+sec^2 x}+\dfrac{1}{1+csc^2 x}\\ &=\dfrac{1}{1+sen^2x}+\dfrac{1}{1+cos^2 x}+\dfrac{1}{1+\frac{1}{cos^2x}}+\dfrac{1}{1+\frac{1}{sen^2x}}\\ &=\dfrac{1}{1+sen^2x}+\dfrac{1}{1+cos^2 x}+\dfrac{cos^2x}{1+cos^2 x}+\dfrac{sen^2x}{1+sen^2x}\\ &=\dfrac{1+sen^2x}{1+sen^2x}+\dfrac{1+cos^2x}{1+cos^2 x}\\ &=2.\end{align}$

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.