Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
A expressão a seguir resulta em um número inteiro:
[tex]\qquad \left(\sqrt[3]{\sqrt[6]{2^9}}\right)^5 \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[6]{2^9}}\right)^5.[/tex]
Qual é esse número?
Solução
Inicialmente, multipliquemos os índices das raízes de forma a obtermos apenas uma raiz em cada fator:
[tex]\qquad \left(\sqrt[3]{\sqrt[6]{2^9}}\right)^5 \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[6]{2^9}}\right)^5=\left(\sqrt[18]{2^9}\right)^5 \cdot \left(\sqrt[18]{2^9}\right)^5.[/tex]
Agora, multiplicando as duas potências de mesma base e somando os expoentes, temos:
[tex]\qquad \left(\sqrt[18]{2^9}\right)^{10}.[/tex]
Em seguida, multiplicamos os expoentes [tex]9[/tex] e [tex]10[/tex], donde vem:
[tex]\qquad \left(\sqrt[18]{2^{9\cdot 10}}\right)=\sqrt[18]{2^{90}}.[/tex]
Finalmente, reduzimos o radical a uma potência com expoente racional e fazemos a simplificação final:
[tex]\qquad 2^{\frac{90}{18}}=2^5=32.[/tex]
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