Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Efetuando a divisão de [tex]5[/tex] por [tex]37[/tex], José foi calculando o quociente até que a soma de todos os algarismos do quociente na parte decimal foi imediatamente maior ou igual a [tex]400[/tex]. Quantas casas decimais José escreveu?
Extraído de Colégio Naval – Adaptada.
Solução 1
Ao dividirmos [tex]5[/tex] por [tex]37[/tex], encontramos um quociente que é uma dízima periódica: \[5 \div 37 = 0,\overline{135}.\] O [tex]135[/tex] da parte decimal é o período da dízima periódica. A soma dos algarismos de cada período é [tex]1+3+5 = 9[/tex], ou seja, cada período dessa dízima contribui com [tex]9[/tex] na soma. Agora, precisamos saber quantos períodos são escritos até a soma chegar próxima a [tex]400[/tex]. Para isso, dividimos [tex]400[/tex] por [tex]9[/tex], encontrando quociente [tex]44[/tex] e resto [tex]4[/tex], o que significa que após [tex]44[/tex] períodos dessa dízima, a soma dos algarismos de sua parte decimal é [tex]44 \cdot 9 = 396[/tex]. Para atingir ou ultrapassar [tex]400[/tex], devemos somar mais alguns algarismos da dízima, o que é atingido ao somar os 2 primeiros algarismos do [tex]45^\circ[/tex] período: [tex]1+3[/tex]. Sendo assim, foram escritas [tex]44 \cdot 3 + 2 = 134[/tex] casas decimais até que a soma atingisse ou superasse [tex]400[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
A divisão de 5 por 37 tem como resultado uma dizima periódica simples com 3 casas no período, sendo elas: 1, 3 e 5. A soma dos algarismos deste período é [tex]1+3+5=9[/tex]. Sabendo disso, vamos dividir 400 por 9, e temos como resultado 44 com resto 4. Logo, ele somou 44 períodos mais os dois primeiros números do 45° período (1 e 3) para “cobrirmos” o resto. Como cada período tem 3 casas, precisamos de [tex]44\cdot3+2=134[/tex] casas decimais para conseguirmos alcançar 400. Assim, podemos dizer que José escreveu 134 casas decimais.
Solução elaborada pelo COM Os Matemágicos.
Participou da discussão o Clube Os Matemágicos.