Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Mostre a validade da seguinte igualdade, para [tex]n\geq 3[/tex].
Solução
Inicialmente, vamos provar que, para todo [tex]k[/tex] real, com [tex]k \neq -2,\,0,\, 2[/tex], vale a seguinte igualdade:
[tex] \dfrac{1}{(k-2)k(k+2)} = \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{1}{(k-2)k}-\dfrac{1}{k(k+2)} \right). \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Com efeito:
[tex]\qquad \begin{aligned}\dfrac{1} {4} \cdot \left(\dfrac {1}{(k-2) \cdot k}-\dfrac{1}{k\cdot (k+2)} \right) &= \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{(k+2)-(k-2)}{(k-2)k(k+2)} \right)\\
&= \dfrac{1}{4}\left( \dfrac{4}{(k-2)k(k+2)} \right)\\
&= \dfrac{1}{(k-2)k(k+2)},\end{aligned}[/tex]
como queríamos mostrar.
Note que, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], que:
[tex]\qquad\dfrac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5}= \dfrac{1} {4} \left( \dfrac {1}{1 \cdot 3} – \dfrac {1}{3 \cdot 5} \right)[/tex];
[tex]\qquad\dfrac{1}{3 \cdot 5 \cdot 7} = \dfrac{1} {4} \left( \dfrac {1}{3 \cdot 5} – \dfrac {1}{5 \cdot 7} \right)[/tex];
[tex]\qquad\dfrac{1}{5 \cdot 7 \cdot 9} = \dfrac{1} {4} \left( \dfrac {1}{5 \cdot 7} – \dfrac {1}{7 \cdot 9} \right)[/tex];
[tex]\qquad\;\; \vdots\\[/tex]
[tex]\qquad\dfrac{1}{(n-2) \cdot n \cdot (n-2)}=\dfrac{1} {4} \cdot \left(\dfrac {1}{(n-2) \cdot n} – \dfrac {1}{n \cdot (n+2)}\right)[/tex].
Somando-se todas as igualdades acima, obtemos:
[tex]\qquad\dfrac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5} + \dfrac{1}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \dfrac{1}{5 \cdot 7 \cdot 9} + \dots + \dfrac{1}{ (n-2) \cdot n \cdot (n+2)} = \\
\qquad=\dfrac{1} {4} \cdot\left[\left( \dfrac {1}{1 \cdot 3} – \textcolor{red}{\cancel{\dfrac {1}{3 \cdot 5}}} \right)+\left( \textcolor{red}{ \cancel{\dfrac {1}{3 \cdot 5}}} – \textcolor{blue}{\bcancel{\dfrac {1}{5 \cdot 7}}} \right)+\left( \textcolor{blue}{\bcancel{ \dfrac {1}{5 \cdot 7}}} – \textcolor{green}{\cancel{\dfrac {1}{7 \cdot 9}}} \right)+\cdots\\
\qquad \quad \cdots +\left(\textcolor{#FF00FF}{\bcancel{\dfrac {1}{(n-2) \cdot n}}} – \dfrac {1}{n \cdot (n+2)}\right) \right]\\
\qquad = \dfrac{1} {4} \left( \dfrac {1}{ 1 \cdot 3} – \dfrac {1}{n \cdot (n+2)} \right)\,.[/tex]
Portanto, de fato,
[tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5} + \dfrac{1}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \dfrac{1}{5 \cdot 7 \cdot 9} + \dots + \dfrac{1}{ (n-2) \cdot n \cdot (n+2)} = \dfrac{1} {4} \left( \dfrac {1}{3} – \dfrac {1}{n \cdot (n+2)} \right)$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.