.Problema: Um valor inteiro

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

(Espanha $2006$ ) Um número positivo

$x$ é tal que

$x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$ .
Mostre que

$x^5+\dfrac{1}{x^5}$ é um inteiro e calcule seu valor.

(Fonte: Problemas Selecionados de Matemática IME-ITA-Olimpíadas)

Solução

Seja

$x$ um número positivo tal que

$\boxed{x^2+\dfrac{1}{x^2}=7} \, . \qquad \textcolor{#800000}{(i)}$
Façamos

$x+\dfrac{1}{x}=a$ . Elevando ambos os membros dessa igualdade ao quadrado, temos:

$\qquad x^2+2+\dfrac{1}{x^2}=a^2$ ,
ou, ainda,

$\qquad a^2-2=x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$ .
Assim,

$a^2=9$ e, portanto,

$a=3$ , pois

$a \,$ é positivo.
Desta forma, temos

$\boxed{x+\dfrac{1}{x}=3} \, . \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}$
Elevando ao cubo os dois lados da igualdade

$\textcolor{#800000}{(ii)}$ , obtemos:

$\qquad \qquad \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3=(3)^3$

$\qquad \qquad x^3+3x+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^3}=27$

$\qquad \qquad x^3+\dfrac{1}{x^3}=27-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$

$\qquad \qquad x^3+\dfrac{1}{x^3}\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{=}27-3 \cdot 3$

$\qquad \qquad \boxed{x^3+\dfrac{1}{x^3}=18} \, . \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}$
Agora, observe que, de

$\, \textcolor{#800000}{(i)} \, \,$ e

$\, \, \textcolor{#800000}{(iii)}$ , segue que:

$\qquad \qquad \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)\times \left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)=7 \times 18\\ \,$

$\qquad \qquad x^5+x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^5}=126$

$\qquad \qquad x^5+\dfrac{1}{x^5}=126-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$

$\qquad \qquad x^5+\dfrac{1}{x^5}\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{=}126-3$ ,
donde finalizamos, obtendo que

$\, \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x^5+\dfrac{1}{x^5}=123$} \, .$

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