Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(Espanha [tex]2006[/tex]) Um número positivo [tex]x[/tex] é tal que [tex]x^2+\dfrac{1}{x^2}=7[/tex].
Mostre que [tex]x^5+\dfrac{1}{x^5}[/tex] é um inteiro e calcule seu valor.
(Fonte: Problemas Selecionados de Matemática IME-ITA-Olimpíadas)
Solução
Seja [tex]x[/tex] um número positivo tal que [tex]\boxed{x^2+\dfrac{1}{x^2}=7} \, . \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Façamos [tex]x+\dfrac{1}{x}=a[/tex]. Elevando ambos os membros dessa igualdade ao quadrado, temos:
[tex]\qquad x^2+2+\dfrac{1}{x^2}=a^2[/tex],
ou, ainda,
[tex]\qquad a^2-2=x^2+\dfrac{1}{x^2}=7[/tex].
Assim, [tex]a^2=9[/tex] e, portanto, [tex]a=3[/tex], pois [tex]a \, [/tex] é positivo.
Desta forma, temos [tex]\boxed{x+\dfrac{1}{x}=3} \, . \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Elevando ao cubo os dois lados da igualdade [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], obtemos:
[tex]\qquad \qquad \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3=(3)^3[/tex]
[tex]\qquad \qquad x^3+3x+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^3}=27[/tex]
[tex]\qquad \qquad x^3+\dfrac{1}{x^3}=27-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)[/tex]
[tex]\qquad \qquad x^3+\dfrac{1}{x^3}\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{=}27-3 \cdot 3[/tex]
[tex]\qquad \qquad \boxed{x^3+\dfrac{1}{x^3}=18} \, . \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
Agora, observe que, de [tex] \, \textcolor{#800000}{(i)} \, \, [/tex] e [tex] \, \, \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad \qquad \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)\times \left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)=7 \times 18\\
\, [/tex]
[tex]\qquad \qquad x^5+x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^5}=126[/tex]
[tex]\qquad \qquad x^5+\dfrac{1}{x^5}=126-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)[/tex]
[tex]\qquad \qquad x^5+\dfrac{1}{x^5}\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{=}126-3[/tex],
donde finalizamos, obtendo que [tex] \, \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x^5+\dfrac{1}{x^5}=123$} \, .[/tex]
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