Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Qual é o menor valor possível para a soma das áreas de um triângulo equilátero e um quadrado, sabendo que seus perímetros somam [tex]10[/tex] cm?
Solução
Se [tex]x[/tex] for a medida do lado do triângulo equilátero, então [tex]\dfrac{10-3x}{4}[/tex] será a medida do lado do quadrado.
Lembre-se que a área de um triângulo equilátero de lado [tex]x[/tex] é dada por [tex]\dfrac{\sqrt{3}x^2}{4}.[/tex]
Dessa forma, a soma [tex]A(x)[/tex] das áreas do triângulo equilátero e do quadrado será
[tex]\qquad{A(x)=\dfrac{\sqrt{3}x^2}{4}+\left(\dfrac{10-3x}{4}\right)^2=\dfrac{\sqrt{3}x^2}{4}+\dfrac{100-60x+9x^2}{16}=\dfrac{100-60x+(9+4\sqrt{3})x^2}{16}},[/tex]
ou seja,
[tex]\qquad{16A(x)=100-60x+(9+4\sqrt{3})x^2}.[/tex]
A área [tex]A(x)[/tex] será mínima quando [tex]16A(x)[/tex] atingir o valor mínimo. Sabemos que o valor mínimo do trinômio do segundo grau é dado por [tex]-\dfrac{\Delta}{4a}[/tex]. Assim, o valor mínimo deste trinômio é
[tex]\qquad{-\dfrac{60^2-4\cdot (9+4\sqrt{3})\cdot 100}{4\cdot (9+4\sqrt{3})}=\dfrac{400\sqrt{3}}{9+4\sqrt{3}}.}[/tex]
Com isto podemos calcular a menor soma das áreas do quadrado e do triângulo equilátero:
[tex]\qquad{\dfrac{400\sqrt{3}}{16\cdot (9+4\sqrt{3})}=\dfrac{25\sqrt{3}}{9+4\sqrt{3}}\approx 2,72}[/tex] cm².
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