Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
A Seguro e Cia vende seguros contra roubo para as [tex]20[/tex] vans de uma empresa de entrega de carga. O seguro de todos os veículos citados tem uma anuidade de [tex]R\$\ 200.000,00[/tex]. No caso de uma van ser roubada, a empresa recebe um prêmio no valor de [tex]R\$\ 220.000,00[/tex], que corresponde ao valor de um novo veículo. Após um estudo na região onde os veículos circulam, verificou-se que a probabilidade de uma van ser roubada no decorrer de um ano é de [tex]35\%[/tex]. Qual a probabilidade de que, em um ano, a seguradora tenha prejuízo?
Solução 1
Para que a seguradora não tenha prejuízo, não deve ocorrer nenhum roubo, pois um único roubo já gera prejuízo. De fato, a seguradora recebe anualmente [tex]R\$\ 200.000,00[/tex] pelas [tex]20[/tex] vans, e a cada veículo roubado ela deve pagar [tex]R\$\ 220.000,00[/tex].
Observe que podemos determinar a probabilidade de não ocorrer roubo da seguinte forma:
[tex]\qquad P_\text{não ocorrer roubo}=(1-0,35)^{20}= \, \fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$ 0,65^{20}$} \, ; [/tex]
assim, a probabilidade de a seguradora ter prejuízo é o complementar dessa probabilidade, ou seja,
[tex]\qquad P_\text{ter prejuízo}=1-P_\text{não ocorrer roubo}= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, 1-0,65^{20}\approx 99,98\% \, $} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Partindo da ideia de que para haver prejuízo é suficiente que pelo menos uma van seja roubada, para haver lucro é necessário que nenhuma van seja roubada. Visto que a chance de uma van ser roubada é 35%, a chance de uma van não ser roubada é 65%. Logo, a chance de nenhuma van ser roubada (aplicando-se para as 20 vans) é [tex]0,65^{20}[/tex]. Como a chance de ocorrer prejuízo é 100% menos a chance de ocorrer lucro, a chance da Seguro e Cia ficar no prejuízo é igual a [tex] \, \fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$ 1 – 0,65^{20}\approx 99,98\% \, $} \, .[/tex]
Solução elaborada pelo COM Faapers.
Participou da discussão o Clube Faapers.