Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Robério encontrou dois números num determinado texto sobre potências; a saber:
[tex]\qquad A=2^{65}~[/tex] e [tex]~B=2^{64}+2^{63}+2^{62}+\cdots+2^2+2^1+2^0[/tex].
Perguntou qual o maior deles a seus amigos Sônia e Júlio.
Sem fazer contas Sônia disse que era o [tex]A[/tex] e Júlio, também sem fazer contas, disse que era o [tex]B[/tex].
Qual dos dois acertou? Apresente um possível raciocínio utilizado por ele(a).
Lembrete
Dada uma progressão geométrica finita, [tex](a_1,\, a_1q,\, a_1q^2,\, \cdots\, ,a_1q^{m-1})[/tex], de razão [tex]q\ne1[/tex], a soma [tex]S[/tex] desses [tex]m[/tex] termos é dada por:
\begin{equation}
S=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{m-1}=\dfrac{a_1\cdot (q^m-1)}{q-1}.
\end{equation}
Solução
O número obtido quando se efetuam as contas da expressão escolhida por Júlio é exatamente o antecessor do número escolhido por Sônia. Vejamos!
Observe que [tex]B[/tex] é a soma dos termos da progressão geométrica finita [tex](2^0,~2^1,~ 2^2,\cdots,~2^{64})[/tex], de razão [tex]2[/tex] e com [tex]65[/tex] termos; deste modo:
[tex]\qquad B=2^{64}+2^{63}+ 2^{62}+ \cdots +2^2+ 2^1+ 2^0\\
\qquad B=\dfrac{2^0(2^{65}-1)}{2-1}=2^{65}-1 \\
\qquad B=A-1.[/tex]
Assim, [tex]B[/tex] é o antecessor de [tex]A[/tex] e, portanto, Sônia acertou.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.