Link do problema para dispositivos da Apple.
Problema
(A partir do 9º ano do E. F.) (Nível: Médio)
(ENEM 2012 – adaptado) Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma pista circular de raio r, conforme figura abaixo. A sua largada foi dada na posição representada pela letra L, a chegada está representada pela letra C e a letra A representa o próprio atleta.
Se θ é a medida do ângulo que ¯AF faz com ¯FC, qual o valor em graus de θ, no momento da corrida em que o segmento ¯AC medir r?
Um aplicativo para ajudar
Você pode utilizar o applet abaixo para tentar visualizar o valor de θ.
Movimente o ponto A para obter segmentos ¯AC com comprimentos próximos ao valor de r e observe os respectivos valores de θ .
Instruções:
1) Aguarde o aplicativo carregar completamente.
2) Para movimentar o ponto A sobre a semicircunferência, clique sobre ele, mantenha o mouse pressionado e faça o movimento.
3) Para reiniciar a movimentação, clique sobre as setinhas que aparecem no canto superior direito do aplicativo.
4) Lembre-se de que o GeoGebra fornece valores aproximados e que a visualização de várias situações particulares de um fato matemático não substitui sua demonstração.
OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra
Solução
Note que o segmento ¯AF é um raio da circunferência, assim, quando ¯AC medir r, o triângulo FAC será equilátero.
- Uma característica de triângulos equiláteros é que eles têm lados congruentes e ângulos internos congruentes, logo os três ângulos internos do triângulo FAC têm medida θ.
- Por outro lado, a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180∘, logo 3θ=180∘.
Dessa forma, temos que θ=180∘3, ou seja, θ=60∘.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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