.Problema para ajudar na escola: Um teste

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

O professor Renato aplicou um teste com $60$ questões e atribuiu $(3)$ pontos para cada resposta correta e $(-1)$ para cada resposta errada.
O número de acertos da aluna Mari foi igual ao número de erros do aluno José e o número de acertos de José foi igual ao número de erros da Mari. Ambos responderam as $60$ questões e Mari obteve o dobro da pontuação de José.

Qual a pontuação da Mari? E a do José?

Solução

Sejam $m$ o número de acertos da Mari e $n$ o número de acertos do José.
Assim, pelos dados do problema, no teste aplicado pelo professor Renato:

• a Mari acertou $m$ questões e errou $n$ e sua pontuação foi $\boxed{M=3m-n}$;
• o José acertou $n$ questões e errou $m$ e sua pontuação foi $\boxed{J=3n-m}.$

Dessa forma, como a Mari obteve o dobro da pontuação de José, segue que:
$\qquad \qquad M=2J\\ \qquad \qquad 3m-n=2(3n-m)\\ \qquad\qquad 3m-n=6n-2m\\ \qquad\qquad 3m+2m=6n+n\\ \qquad \qquad 5m=7n \qquad \textcolor{#800000}{(i)}$

Observe ainda que o teste tinha $60$ questões e tanto a Mari como o José responderam todas as $60$ questões; assim, podemos garantir que $m+n=60$, donde $m=60-n.$
Substituindo essa última igualdade em $\textcolor{#800000}{(i)}$, temos que:
$\qquad \qquad 5(60-n)=7n\\ \qquad \qquad 300-5n=7n\\ \qquad \qquad 300=7n+5n\\ \qquad \qquad 300=12n\\ \qquad \qquad n=\dfrac{300}{12}=25.$
Mas $m+n=60$; logo,
$\qquad \qquad m=60-25=35.$
Finalmente, podemos calcular as pontuações da Mari e do José:

► Mari
$\qquad M=3m-n=3 \times 35-25= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$80$} \,$;
► José
$\qquad J=3n-m=3 \times 25-35= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$40$} \,$.

A pontuação de José também poderia ser obtida lembrando que ela foi a metade da pontuação da Mari: $\dfrac{80}{2}=\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$40$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.