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.Problema para ajudar na escola: Coração tem perímetro? E área?

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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


O coração mostrado nas figuras foi desenhado em uma malha quadriculada, utilizando-se quatro arcos de circunferências: AB , BC , CD , DA, cujos centros estão indicados por pontos azuis na forma de cruz.

Sabendo-se que os lados dos quadradinhos da malha medem 1cm, determine:

(a) O perímetro do coração.

(b) A área do coração.

Solução


(a) Observe as circunferências de centros nos pontos C1,C2,C3,C4, a partir das quais foram traçados os arcos AB , BC , CD , DA que definem o coração.

Note que cada uma dessas circunferências tem raio r=2cm; logo, cada uma tem perímetro p=2πr=4πcm.
Se denotarmos o perímetro do coração por pcor, segue que:
pcor=34p+14p+14p+34p

pcor=84p
pcor=2p
pcor=2×(4π)
pcor=8π.
Assim, o perímetro do coração é 8πcm. Se utilizarmos 3,14 como aproximação para π, o perímetro do coração será aproximadamente 25,12cm.

(b) A área do coração corresponde à soma das áreas A1,A2,A3 indicadas na figura abaixo: Acor=A1+A2+A3.

Observe que:

  • Cada uma das áreas A1 e A2 corresponde à área de 34 de um círculo de raio r=2cm. Assim:
  • A1=A2=34πr2

    A1=A2=34π22

    \qquad A_1=A_2=\dfrac{3}{\cancel{4}}\pi \, \cancel{4}

    \qquad \boxed{A_1=A_2=3\pi \, \text{cm}^2}.

  • A área A_3 corresponde à diferença entre a área de um quadrado de lado l=4 \, \text{cm} e duas áreas de \frac{1}{4} de um círculo de raio r=2 \, \text{cm}. Logo:
  • \qquad A_3=l^2-2\times \dfrac{1}{4}\pi \, r^2

    \qquad A_3=4^2-2\times \dfrac{1}{4}\pi \, 2^2

    \qquad A_3=16-2\times \dfrac{1}{\cancel{4}}\pi \, \cancel{4}

    \qquad \boxed{A_3=(16-2\pi )\, \, \text{cm}^2}.

Dessa forma,
\qquad \textcolor{red}{A_{cor}}=A_1+A_2+A_3
\qquad \textcolor{red}{A_{cor}}=3\pi+3\pi+16-2\pi
\qquad \textcolor{red}{A_{cor}}=4\pi+16 \, .
Portanto, a área do coração é \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(4\pi+16) \, \text{cm}^2$} \, . Se utilizarmos 3,14 como aproximação para \pi, a área do coração é aproximadamente28,56 \, \text{cm}^2.


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