.Problema: Outra solução!

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

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Pode-se verificar por substituição que $x=10$ é uma raiz da equação
$\qquad{10^5x^{\log x}=x^6.}$
Existe mais uma raiz real. Encontre-a.

Solução

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Basta aplicar o logaritmo decimal aos dois membros da equação e usar algumas propriedades dos logaritmos
$\qquad{\log \left(10^5x^{\log x}\right)=\log \left(x^6\right).}$
$\qquad{5\log 10 +(\log x)(\log x)=6\log x.}$
Fazendo a mudança de incógnita $X=\log x$ e observando que $\log 10=1$ temos
$\qquad{5+X^2=6X,}$
ou seja,
$\qquad{X^2-6X+5=0.}$
Aplicando a fórmula resolutiva da equação do segundo grau, obtemos $X=1$ ou $X=5$. Assim, $\log x=1$, o que leva à conhecida solução $x=10$, ou $\log x=5$, dando a solução $x=10^5=100000$.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.