.Problema: O desafio de encaixar a prateleira

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

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(UFRJ, 2008) Uma prateleira de um metro de comprimento e $4,4 \;cm$ de espessura deve ser encaixada entre duas paredes planas e paralelas. Por razões operacionais, a prateleira deve ser colocada enviesada (inclinada), para depois ser girada até a posição final, como indica a figura.

Se a distância entre as paredes é de um metro e um milímetro, é possível encaixar a prateleira?

Solução

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Observe que, para que a prateleira seja encaixada, é necessário e suficiente que a diagonal do retângulo cujos lados são a espessura e o comprimento da prateleira seja menor do que a distância entre as paredes. A diagonal em questão é a hipotenusa do triângulo retângulo destacado na figura abaixo.

Sendo $d$ a diagonal, aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo, temos
$\qquad d = \sqrt{44^2+1\;000^2} = \sqrt {1\;001\;936} \;mm.$
Agora, repare que um metro e um milímetro correspondem a $1\;001 \;mm$, e além disso, $1\;001^2 = 1\;002\;001.$ Portanto,
$\qquad d = \sqrt {1\;001\;936} \;mm\lt\sqrt{1\;002\;001}\;mm= 1\;001 \;mm$, ou seja,
$\qquad d\lt 1\;001 \;mm.$
Logo, é possível encaixar a prateleira.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.