Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
(Estruturas Algébricas-Adaptado) Roberto pensou em um número [tex] n[/tex] cuja fatoração em números primos é dada por [tex]n=2^5\cdot 3^2\cdot 5^a\cdot 11^b[/tex], com [tex]a, \, b\gt 0[/tex]. Para que o amigo Paulo descobrisse tal número, Roberto disse-lhe que a quantidade total de divisores inteiros positivos de [tex]n[/tex] é [tex]180[/tex].
Quais são os possíveis valores de [tex]n[/tex] que Paulo terá que descobrir?
Lembrete
Seja [tex]n[/tex] um número natural composto cuja fatoração em números primos é
[tex]\ n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_{t}^{a_t}. [/tex]
Então, a quantidade total de divisores inteiros positivos de [tex]n [/tex] é dada por
[tex] (a_1+1)\cdot (a_2+1)\cdots (a_t+1).[/tex]
Solução
Como [tex]\boxed{n=2^5\cdot 3^2\cdot 5^a\cdot 11^b} \, [/tex] tem [tex]180[/tex] divisores, de acordo com o Lembrete, temos que:
\begin{eqnarray}(5+1)\cdot (2+1) \cdot(a+1) \cdot (b+1)=180\\ \nonumber
6\cdot 3 \cdot (a+1)\cdot (b+1)=180\\ \nonumber
(a+1)\cdot (b+1)=\frac{180}{18}\\
(a+1)\cdot (b+1)=10.\end{eqnarray}
Por outro lado, as únicas possibilidades para decompormos [tex]10[/tex] como produto de dois números inteiros positivos, a menos da ordem, são [tex] 10=1\cdot 10[/tex] ou [tex] 10=2\cdot 5[/tex]. Assim, temos as seguintes possibilidades:
- [tex]a+1=1 \, [/tex] e [tex] \, b+1=10[/tex],
- [tex]a+1=10 \, [/tex] e [tex] \, b+1=1[/tex],
- [tex]a+1=2 \, [/tex] e [tex] \, b+1=5[/tex],
- [tex]a+1=5 \, [/tex] e [tex] \, b+1=2[/tex].
Observemos que as duas primeiras possibilidades não podem ocorrer, pois teríamos [tex]a=0[/tex], no primeiro caso, e [tex]b=0[/tex], no segundo caso. Assim, restam apenas as possibilidades
- [tex]a=1[/tex] e [tex]b=4[/tex],
- [tex]a=4[/tex] e [tex]b=1[/tex].
Portanto, os números que Paulo terá que descobrir são: [tex]2^5\cdot 3^2\cdot 5^1\cdot 11^4= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$21.083.040$} \, [/tex] e [tex] \, 2^5\cdot 3^2\cdot 5^4\cdot 11^1= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1.980.000$} \, .[/tex]
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