Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Dizemos que um número natural [tex]n[/tex] é livre de cubos quando não for divisível pelo cubo de nenhum número primo. Entre os divisores do número [tex]21\,600[/tex], quantos são livres de cubos?
Solução
Podemos fatorar o número [tex]21\,600[/tex] na forma [tex]2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^2[/tex]. Observe que um divisor [tex]d[/tex] de [tex]21\,600[/tex] deve ter a forma [tex]2^i \cdot 3^j \cdot 5^k[/tex] (para aprender mais, dê uma olhadinha nesta sala!), com [tex]i\in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}[/tex], [tex]j\in \{0, 1, 2, 3\}[/tex] e [tex]k\in \{0, 1, 2\}[/tex].
Os divisores que são livres de cubos ocorrem quando [tex]i\in \{0, 1, 2\}[/tex], [tex]j\in \{0, 1, 2\}[/tex] e [tex]k\in \{0, 1, 2\}[/tex]. Desta forma, existem [tex]3\cdot 3\cdot 3=27[/tex] divisores de [tex]21 600[/tex] livres de cubos.
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