.Problema: Número Feliz

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Dizemos que um número inteiro positivo

$n$ é feliz se

$n=a^2+b^2$ , com

$a$ e

$b$ inteiros.
Por exemplo:

$10$ é feliz, pois $10=3^2+1^2$ ;
$9$ é feliz, pois $9=0^2+3^2$ .

Seja $n$ um número feliz.
(a) Mostre que o número $2n$ também é feliz.
(b) Mostre que o número $5n$ também é feliz.

Solução

Seja

$n$ um número feliz.
(a) Se

$n=a^2+b^2$ , com

$a, \, b \in \mathbb{Z}$ , então:

$\qquad 2n=2a^2+2b^2=(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2.$
Como

$2n=(a+b)^2+(a-b)^2$ , com

$a+b, \, a-b \in \mathbb{Z}$ , segue que

$2n$ é feliz.

(b) Se $n=a^2+b^2$ , com $a, \, b \in \mathbb{Z}$ , como $5=2^2+1^2$ , temos que:
$\qquad \begin{align*} 5n & =(2^2+1^2)(a^2+b^2) \\&= (2a)^2+a^2+(2b)^2+b^2 \\&=(2a)^2+b^2+(2b)^2+a^2 \\&=(2a)^2-4ab+b^2+(2b)^2+4ab+a^2 \\&= (2a-b)^2+(a+2b)^2.\end{align*}$
Assim, $5n=(2a-b)^2+(a+2b)^2$ , com $2a-b, \, a+2b \in \mathbb{Z}$ , o que garante que $5n$ também é feliz.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Uma generalização

Mostraremos de modo geral que o produto de dois números felizes também é um número feliz.
De fato, se

$n=a^2+b^2 \,$ e

$\, m=c^2+d^2$ , com

$a, \, b, \, c, \, d \in \mathbb{Z}$ , então:

$\qquad \begin{align*} mn & =(a^2+b^2)(c^2+d^2)\\& =a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2 \\& =a^2c^2-2abcd+b^2d^2+a^2d^2+2abcd+b^2c^2 \\& =(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.\end{align*}$
Assim, $mn=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$ , com $(ac-bd),(ad+bc) \, \in \mathbb{Z}$ .
Portanto, o produto de dois números felizes é um número feliz.