Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Em uma loteria fictícia, o sorteio de [tex]4[/tex] números é feito de forma aleatória entre os inteiros de [tex]1[/tex] a [tex]25[/tex]. Qual a quantidade de sorteios em que não são sorteados dois números consecutivos?
Extraído de Concurso IFPI 2019.
Solução
Considere [tex]25[/tex] bolas, numeradas de [tex]1[/tex] a [tex]25[/tex]. Denotaremos as bolas não sorteadas pelo símbolo O. Queremos encontrar de quantas maneiras é possível colocar as [tex]4[/tex] bolas sorteadas em espaços entre as bolas não-sorteadas:
__O__O__O__ … __O__
Assim, as bolas sorteadas ficarão entre pelo menos duas bolas não-sorteadas, evitando que apareçam sorteios com números consecutivos. Como há [tex]21[/tex] bolas não-sorteadas, então há [tex]22[/tex] espaços disponíveis para as [tex]4[/tex] bolas sorteadas. O número de maneiras de [tex]4[/tex] bolas ocuparem [tex]22[/tex] espaços é resultado de uma combinação simples: [tex]C_{22, 4} = \dfrac{22!}{18! \cdot 4!} = 7\,315.[/tex] Logo, há [tex]7\,315[/tex] sorteios em que não aparecem números consecutivos.
Considere dar uma passadinha nesta sala.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.