Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Bruno estava brincando com um graveto quando acertou uma parede e o graveto se partiu em três pedaços, de comprimentos [tex]a,b[/tex] e [tex]c[/tex], com [tex]a \leq b \leq c[/tex]. Ele recolheu os pedaços e tentou construir um triângulo cujos lados seriam exatamente os pedaços do graveto: não foi possível.
Sabendo que o graveto tinha [tex]50[/tex] cm de comprimento e que [tex]b=a+2[/tex], qual é o maior valor possível de [tex]a[/tex]?
Extraído de UNICAMP.
Solução
Para que três números reais positivos possam ser medidas dos lados de um mesmo triângulo, devem satisfazer ao critério da condição de existência de um triângulo. A condição de existência diz que, dado um triângulo qualquer, a soma de dois lados deve ser maior que o terceiro lado (essa propriedade é também conhecida como desigualdade triangular).
Ou seja, dados três números reais [tex]a \leq b \leq c[/tex], para que seja possível construir um triângulo com essas três medidas, é necessário ter [tex]c \lt b+a[/tex].
Do enunciado, podemos concluir que:
[tex]\qquad a + b + c = 50[/tex].
Como [tex]b= a + 2[/tex], temos que:
[tex]\qquad 2a + c = 48[/tex], ou seja, [tex]c=48-2a\quad (I).[/tex]
Como não foi possível construir um triângulo, a condição de existência não foi satisfeita. Logo:
[tex]\qquad c \geq b+a\quad (II).[/tex]
De (I) e (II), temos que:
[tex]\qquad 48-2a \geq a+a+2,[/tex]
[tex]\qquad 46 \geq 4a,[/tex]
[tex]\qquad a \leq 11,5.[/tex]
Portanto, o valor máximo de [tex]a[/tex] é [tex]11,5[/tex] cm.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.