Problema
(Indicado a partir do 3º ano do E. M.)
No gráfico, está representada, fora de escala, a função polinomial [tex]P[/tex] de variável real [tex]x[/tex], definida por [tex]P(x) = 2x^{3} − 3x^{2} − 11x + 6[/tex].
Apresente os valores de [tex]x[/tex] que são as soluções da inequação [tex]P(x)\ge 0[/tex].
Extraído de UERJ.
Solução
Como o polinômio tem grau [tex]3[/tex] e, portanto, no máximo [tex]3[/tex] raízes reais distintas, podemos concluir que todas as suas raízes aparecem no gráfico, sendo o número [tex]3[/tex] uma delas. Portanto, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, podemos escrever o polinômio [tex]P[/tex] como o produto de [tex](x-3)[/tex] e um polinômio do segundo grau. Isso pode ser feito da seguinte maneira:
[tex]\qquad P(x) = 2x^{3} − 3x^{2} − 11x + 6,[/tex]
[tex]\qquad P(x)= (x-3) \cdot (2x^2+3x-2)[/tex].
Logo, as demais raízes de [tex]P[/tex] são dadas por:
[tex]\qquad 2x^2 +3x -2 = 0[/tex].
Resolvendo a equação do segundo grau, temos:
[tex]\qquad x = -2[/tex] ou [tex]x = \dfrac {1}{2}[/tex].
Assim, para que a desigualdade [tex]P(x)\ge 0[/tex] seja respeitada, devemos ter [tex]-2\le x \le \dfrac{1}{2}[/tex] ou [tex]x\ge 3[/tex].
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