Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Um assunto muito importante nos dias atuais é a segurança de uma senha eletrônica. Em geral, uma senha é uma sequência de [tex]k[/tex] símbolos escolhidos de um conjunto contendo [tex]n[/tex] símbolos. A entropia de um sistema de senha desse formato é o número
[tex]\qquad{E=\text{log}_2 (n^k).}[/tex]
Quanto maior for o valor de [tex]E[/tex], mais forte será o sistema de senha. Responda qual sistema de senha é mais forte: um que usa uma senha com [tex]4[/tex] símbolos escolhidos entre [tex]32[/tex] símbolos ou um sistema com [tex]6[/tex] símbolos escolhidos entre [tex]10[/tex] símbolos. Use [tex]\text{log}_2 10=3,322[/tex].
Solução
Para determinar qual sistema de senha é mais forte, precisamos calcular a entropia [tex]E[/tex] de cada um deles usando a fórmula:
[tex]\qquad{E=\text{log}_2 (n^k).}[/tex]
Sistema 1: senha com [tex]4[/tex] símbolos escolhidos entre [tex]32[/tex] símbolos. Aqui, [tex]n = 32[/tex] e [tex]k = 4[/tex]. Assim,
[tex]\qquad{E_1=\text{log}_2 32^4=4 \text{log}_2 32=4\cdot 5=20,}[/tex]
já que [tex]32 = 2^5[/tex]. Portanto:
[tex]\qquad{E_1=20.}[/tex]
Sistema 2: senha com [tex]6[/tex] símbolos escolhidos entre [tex]10[/tex] símbolos. Aqui, [tex]n = 10[/tex] e [tex]k = 6[/tex]. Assim,
[tex]\qquad{E_2=\text{log}_2 10^6=6 \text{log}_2 10 \approx6\cdot 3,322 = 19,932.}[/tex]
Como [tex]E_1 \gt E_2[/tex], o sistema de senha com [tex]4[/tex] símbolos escolhidos entre [tex]32[/tex] símbolos é mais forte do que o sistema com [tex]6[/tex] símbolos escolhidos entre [tex]10[/tex] símbolos.
Solução elaborada pelo COM LAPLACES.